Cho tam giác ABC có AB = 1, BC = 2 và góc ABC=60 độ

Giải SBT Toán lớp 10 Bài tập cuối chương 3

Bài 3.40 trang 43 SBT Toán 10 Tập 1:

Cho tam giác ABC có AB = 1, BC = 2 và $\widehat{ABC}=60°.$Tính độ dài cạnh và số đo các góc còn lại của tam giác.

Lời giải:

Cách 1:

Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC ta có:

AC² = AB² + BC² – 2.AB.BC.cos$\widehat{ABC}$

$\Rightarrow$AC² = 1² + 2² – 2.1.2.cos60°

$\Rightarrow$AC² = 3

$\Rightarrow$AC = $\sqrt{3}$

Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC ta có:

$\frac{AB}{\sin \widehat{ACB}}=\frac{BC}{\sin \widehat{BAC}}=\frac{AC}{\sin \widehat{ABC}}$

$\Rightarrow \frac{1}{\sin \widehat{ACB}}=\frac{2}{\sin \widehat{BAC}}=\frac{\sqrt{3}}{\sin 60°}=2$

$\Rightarrow \sin \widehat{ACB}=\frac{1}{2}$và $\sin \widehat{BAC}=1$

$\Rightarrow \widehat{ACB}=30°$và $\widehat{BAC}=90°.$

Vậy $AC=\sqrt{3};\widehat{ACB}=30°$và $\widehat{BAC}=90°.$

Cách 2:

Tam giác ABC có AB = 1, BC = 2 nên $\frac{AB}{BC}=\frac{1}{2}$

Mà $\widehat{ABC}=60°.$

Do đó tam giác ABC vuông tại A $\left(\widehat{BAC}=90°\right).$

Suy ra $\Rightarrow \widehat{ACB}=90°-\widehat{ABC}=30°$

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác ABC vuông tại A ta có:

AC² = BC² – AB² = 2² – 1² = 3

$\Rightarrow$AC = $\sqrt{3}$

Vậy $AC=\sqrt{3};\widehat{ACB}=30°$và $\widehat{BAC}=90°.$