Tính độ dài các đoạn thẳng MN và EF

Giải Toán 8 Bài 2: Định lí đảo và hệ quả của định lí Ta-lét

Video Giải Bài 11 trang 63 Toán 8 Tập 2

Bài 11 trang 63 Toán 8 Tập 2:

a) Tính độ dài các đoạn thẳng MN và EF.

b) Tính diện tích tứ giác MNFE, biết rằng diện tích của tam giác ABC là 270cm².

Hình 17

Lời giải:

a) Áp dụng hệ quả định lý Ta-let ta có:

ΔABC có MN // BC (M ∈ AB, N ∈ AC)

⇒  $\frac{MN}{BC}=\frac{AN}{AC}$  (1)

ΔAHC có KN // HC (K ∈ AH, N ∈ AC)

⇒ $\frac{AK}{AH}=\frac{AN}{AC}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $\frac{MN}{BC}=\frac{AK}{AH}$

Chứng minh tương tự ta có: $\frac{EF}{BC}=\frac{AI}{AH}$

Mà ta có: AK = KI = IH nên

$\frac{AK}{AH}=\frac{1}{3}$(do AH = AK + KI + IH)

$\Rightarrow \frac{MN}{BC}=\frac{1}{3}\Rightarrow MN=\frac{BC}{3}=\frac{15}{3}=5cm$

Và 

$\frac{AI}{AH}=\frac{2}{3}\Rightarrow \frac{EF}{BC}=\frac{2}{3}\Rightarrow EF=\frac{2}{3}BC=10cm$

Vậy MN = 5cm; EF = 10cm.

b) Ta có:

$S_{AMN}=\frac{1}{2}MN.AK;S_{AEF}=\frac{1}{2}EF.AI;S_{ABC}=\frac{1}{2}AH.BC\Rightarrow \frac{S_{AMN}}{S_{ABC}}=\frac{\frac{1}{2}MN.AK}{\frac{1}{2}AH.BC}=\frac{MN}{BC}.\frac{AK}{AH}=\frac{1}{3}.\frac{1}{3}=\frac{1}{9}\Rightarrow S_{AMN}=\frac{1}{9}{S}_{ABC}\frac{S_{AEF}}{S_{ABC}}=\frac{\frac{1}{2}EF.AI}{\frac{1}{2}AH.BC}=\frac{EF}{BC}.\frac{AI}{AH}=\frac{2}{3}.\frac{2}{3}=\frac{4}{9}\Rightarrow S_{AEF}=\frac{4}{9}{S}_{ABC}\Rightarrow S_{MNFE}=S_{AEF}-S_{AMN}=\frac{4}{9}{S}_{ABC}-\frac{1}{9}{S}_{ABC}=\frac{1}{3}{S}_{ABC}=\frac{1}{3}.270=90c{m}^2$