Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(2; −1), B(5; 3) và C(–2; 9)

Giải SBT Toán lớp 10 Bài tập cuối chương 4

Bài 4.69 trang 71 SBT Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(2; −1), B(5; 3) và C(–2; 9).

a) Tìm điểm D thuộc trục hoành sao cho B, C, D thẳng hàng.

b) Tìm điểm E thuộc trục hoành sao cho EA + EB nhỏ nhất.

c) Tìm điểm F thuộc trục tung sao cho vectơ $\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{FB}+\overrightarrow{FC}$có độ dài ngắn nhất.

Lời giải:

a) Giả sử D(a; 0) là điểm thuộc trục hoành.

Với B(5; 3), C(–2; 9) và D(a; 0) ta có:

Vì ba điểm B, C, D thẳng hàng nên ta có: $\overrightarrow{BC}$và $\overrightarrow{BD}$là hai vectơ cùng phương

Vậy $D\left(\frac{17}{2};0\right)$là điểm cần tìm.

b) Ta có: A(2; −1), B(5; 3) là hai điểm nằm về hai phía của trục hoành

Do đó với mỗi điểm E nằm trên trục hoành ta luôn có EA + EB ≥ AB

Suy ra EA + EB ngắn nhất là bằng AB

Điều này xảy ra khi và chỉ khi E là giao điểm của AB và trục hoành Ox

$\Rightarrow$ 3 điểm A, E, B thẳng hàng

$\iff \overrightarrow{AB}$và $\overrightarrow{AE}$là hai vectơ cùng phương

Giả sử E(b; 0) là điểm thuộc trục hoành.

Với A(2; −1), B(5; 3) và E(b; 0) ta có:

• $\overrightarrow{AB}$= (3; 4)

• $\overrightarrow{AE}$= (b – 2; 1)

Khi đó $\overrightarrow{AB}$và $\overrightarrow{AE}$là hai vectơ cùng phương

Vậy $E\left(\frac{11}{4};0\right)$là điểm cần tìm.

c) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.

Khi đó với A(2; −1), B(5; 3) và C(–2; 9) ta có:

Với điểm F bất kì ta có: 

Để vectơ $\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{FB}+\overrightarrow{FC}$có độ dài ngắn nhất thì FG có độ dài ngắn nhất

Mà F là điểm nằm trên trục tung

Do đó F là hình chiếu vuông góc của G lên Oy.

$\Rightarrow$ Hoành độ của F là x = 0 và tung độ của F bằng với tung độ của G là y = $\frac{11}{3}$

Vậy $F\left(0;\frac{11}{3}\right).$