Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi M, theo thứ tự là trung điểm của BC, AD

Giải SBT Toán lớp 10 Bài tập cuối chương 4

Bài 4.59 trang 70 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi M, theo thứ tự là trung điểm của BC, AD. Gọi I, J lần lượt là giao điểm của BD với AM, CN. Xét các vectơ khác $\overrightarrow{0}$có đầu mút lấy từ các điểm A, B, C, D, M, N, I, J, O.

a) Hãy chỉ ra những vectơ bằng vectơ $\overrightarrow{AB};$những vectơ cùng hướng với $\overrightarrow{AB};$

b) Chứng minh rằng BI = IJ = JD.

Lời giải:

a) ABCD là hình bình hành có M, N lần lượt là trung điểm của BC, AD

Nên MN là đường trung bình của hình bình hành

$\Rightarrow$ MN // AB // DC và MN = AB = DC.

$\Rightarrow$ $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{MN}$

Vậy những vectơ bằng vectơ $\overrightarrow{AB}$là: $\overrightarrow{AB};\overrightarrow{DC};\overrightarrow{MN}.$

Lại có O là tâm hình bình hành nên O là trung điểm của AC và BD

Do đó NO là đường trung bình của DADC

$\Rightarrow$ NO // DC

Chứng minh tương tự ta cũng có OM // DC

Do đó ba điểm M, O, N thẳng hàng.

Vậy những vectơ cùng hướng với $\overrightarrow{AB}$là: $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{NO},\overrightarrow{OM},\overrightarrow{NM},\overrightarrow{DC.}$

b) Xét tam giác ABC có: AM, BO là hai đường trung tuyến của tam giác

Mà AM cắt BO tại I

Do đó I là trọng tâm của DABC.

$\Rightarrow BI=\frac{2}{3}BO$và $OI=\frac{1}{2}BI$(tính chất trọng tâm)(1)

Tương tự ta cũng có J là trọng tâm của DADC.

$\Rightarrow DJ=\frac{2}{3}DO$và $OJ=\frac{1}{2}DJ$(tính chất trọng tâm)(2)

Mặt khác BO = DO (do O là trung điểm của BD)(3)

Từ (1), (2) và (3) ta có:

Mà

Vậy BI = IJ = JD.