Cho bốn điểm A, B, C, D trong mặt phẳng. Chứng minh rằng

Giải SBT Toán lớp 10 Bài tập cuối chương 4

Bài 4.66 trang 71 SBT Toán 10 Tập 1: Cho bốn điểm A, B, C, D trong mặt phẳng. Chứng minh rằng $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{BD}=0.$

Lời giải:

Ta có:

Suy ra: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{BD}$

$=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC}.\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}\right)$$+\left(-\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}\right).\left(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}\right)$

$=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AB}+{\overrightarrow{BC}}^2+\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{CD}-$$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}-{\overrightarrow{BC}}^2-\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{CD}$

= 0.

Vậy $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{BD}=0.$