Cho tam giác ABC đều các cạnh có độ dài bằng 1. Lấy M, N, P lần lượt thuộc

Giải SBT Toán lớp 10 Bài tập cuối chương 4

Bài 4.56 trang 69 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC đều các cạnh có độ dài bằng 1. Lấy M, N, P lần lượt thuộc các cạnh BC, CA, AB sao cho BM = 2MC, CN = 2NA và AM ⊥ NP. Tỉ số của $\frac{AP}{AB}$bằng

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Giả sử $\frac{AP}{AB}=x$(x > 0)

Ta có:

• Ta có: MB = 2MC nên M nằm giữa B và C

$\Rightarrow \frac{BM}{MC}=\frac{2}{1}\Rightarrow \frac{BM}{BM+MC}=\frac{2}{2+1}$

Hay $\frac{BM}{BC}=\frac{2}{3}\Rightarrow BM=\frac{2}{3}BC$

Do đó $\overrightarrow{BM}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}$

Tương tự ta cũng có $\overrightarrow{AP}=x\overrightarrow{AB}$và $\overrightarrow{AN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC.}$

Mặt khác ta có: AM ⊥ NP

Tam giác ABC đều có độ dài cạnh bằng 1 nên AB = AC = BC = 1 và $\widehat{BAC}=60°.$

Ta có: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB.AC.cos\widehat{BAC}$

= 1.1.cos60° = $\frac{1}{2}$

Khi đó:

(thỏa mãn)

Vậy $\frac{AP}{AB}=\frac{5}{12}.$

Ta chọn phương án A.