Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm các cạnh AB, CD

Giải SBT Toán lớp 10 Bài tập cuối chương 4

Bài 4.62 trang 70 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm các cạnh AB, CD. Lấy P thuộc đoạn DM và Q thuộc đoạn BN sao cho DP = 2PM, BQ = xQN. Đặt $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{u}$và $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{v}.$

a) Hãy biểu thị các vectơ $\overrightarrow{AP}\text{, }\overrightarrow{AQ}$qua hai vectơ $\overrightarrow{u}$và $\overrightarrow{v}$

b) Tìm x đề A, P, Q thằng hàng.

Lời giải:

• Vì P thuộc đoạn DM sao cho DP = 2PM

Nên $\overrightarrow{PD}=-2\overrightarrow{PM}$

Theo Nhận xét ở Ví dụ 2, Bài 9 (trang 53, Sách bài tập, Toán 10, Tập một), với điểm A ta có:

(vì M là trung điểm của AB)

• Vì Q thuộc đoạn BN sao cho BQ = xQN

$\Rightarrow \overrightarrow{QB}=-x\overrightarrow{QN}$

Theo Nhận xét ở Ví dụ 2, Bài 9 (trang 53, Sách bài tập, Toán 10, Tập một), với điểm A ta có:

(vì N là trung điểm của CD)

b) Với $\overrightarrow{AP}=\frac{1}{3}\overrightarrow{v}+\frac{1}{2}\overrightarrow{u}$và $\overrightarrow{AQ}=\frac{x+2}{2\left(x+1\right)}\overrightarrow{u}+\frac{x}{x+1}\overrightarrow{v}$

Để A, P, Q thẳng hàng thì hai vectơ $\overrightarrow{AP}$và $\overrightarrow{AQ}$cùng phương

$\iff \frac{\frac{x+2}{2\left(x+1\right)}}{\frac{1}{3}}=\frac{\frac{x}{x+1}}{\frac{1}{3}}$$\iff \frac{x+2}{2\left(x+1\right)}=\frac{x}{x+1}$

$\iff \frac{x+2}{2\left(x+1\right)}=\frac{x}{x+1}$

$\Rightarrow$ x + 2 = 2x

$\Rightarrow$ x = 2 (thỏa mãn x ≠ –1)

Vậy x = 2 thì ba điểm A, P, Q thẳng hàng.