Cho hình thoi ABCD có độ dài các cạnh bằng 1 và góc DAB=120 độ

Giải SBT Toán lớp 10 Bài tập cuối chương 4

Bài 4.42 trang 67 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hình thoi ABCD có độ dài các cạnh bằng 1 và $\widehat{DAB}=120°.$Khẳng định nào sau đây là đúng?

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

• Xét phương án A:

Vì ABCD là hình thoi nên AB // CD suy ra $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}.$

Do đó phương án A là sai.

• Xét phương án B:

Vì ABCD là hình thoi nên hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau.

Khi đó $\overrightarrow{BD}\perp \overrightarrow{AC}$nên $\overrightarrow{BD}\ne \overrightarrow{AC}.$

Do đó phương án B là sai.

• Xét phương án C:

Vì ABCD là hình thoi có cạnh bằng 1 nên AD = AB = 1.

Xét DABD có AB = AD = 1 và $\widehat{DAB}=120°,$áp dụng định lí cosin ta có:

BD² = AD² + AB² – 2.AD.AB.cos$\widehat{DAB}$

$\Rightarrow$ BD² = 1² + 1² – 2.1.1.cos120°

$\Rightarrow$ BD² = 3

$\Rightarrow$ BD = $\sqrt{3}$

Khi đó $\left.\overrightarrow{BD}\right|=BD=\sqrt{3}.$

Do đó phương án C là sai.

• Xét phương án D:

Vì ABCD là hình thoi có cạnh bằng 1 nên AD = CD = 1 .

Mặt khác $\widehat{DAB}=120°$nên $\widehat{ADC}=180°-\widehat{DAB}=180°-120°=60°$

Tam giác ADC có AD = DC nên là tam giác cân lại có $\widehat{ADC}=60°$

Suy ra DADC là tam giác đều

$\Rightarrow$ AC = AD = CD = 1.

Khi đó $\left.\overrightarrow{AC}\right|=AC=1.$

Do đó phương án D là đúng.