Cho tứ giác lồi ABCD không có hai cạnh nào song song. Gọi E, F theo thứ tự

Giải SBT Toán lớp 10 Bài tập cuối chương 4

Bài 4.64 trang 70 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tứ giác lồi ABCD không có hai cạnh nào song song. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm AB, CD. Gọi K, L, M, N lần lượt là trung điểm của AF, CE, BF, DE.

a) Chứng minh rằng tứ giác KLMN là một hình bình hành.

b) Gọi I là giao điểm của KM, LN. Chứng minh rằng E, I, F thẳng hàng.

Lời giải:

• Vì E là trung điểm của AB nên $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{EB}$

F là trung điểm của CD nên $\overrightarrow{FC}=\overrightarrow{DF}.$

• Vì K là trung điểm của AF, L là trung điểm của CE, theo kết quả của Bài tập 4.12, trang 58, Toán 10, Tập một, ta có:

$2\overrightarrow{KL}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{FC}=\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{DF}$

Tương tự:

M là trung điểm của BF, N là trung điểm của DE, nên ta có:

$\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{DF}=2\overrightarrow{NM}$

Do đó $2\overrightarrow{KL}=2\overrightarrow{NM}$

$\Rightarrow \overrightarrow{KL}=\overrightarrow{NM}$

$\Rightarrow$ KL = NM và KL // NM

$\Rightarrow$ KLMN là một hình bình hành.

b) Do KLMN là hình bình hành

Mà I là giao điểm của KM, LN nên I là trung điểm chung của KM, LN.

Khi đó ta có:

$2\overrightarrow{EI}=\overrightarrow{EN}+\overrightarrow{EL}=\frac{1}{2}\overrightarrow{ED}+\frac{1}{2}\overrightarrow{EC}$

$=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{EC}\right)=\frac{1}{2}.\overrightarrow{EF}$(do F là trung điểm của DC)

Do đó $2\overrightarrow{EI}=\frac{1}{2}.\overrightarrow{EF}$

$\Rightarrow \overrightarrow{EI}=\frac{1}{4}.\overrightarrow{EF}$

Suy ra hai vectơ $\overrightarrow{EI}$và $\overrightarrow{EF}$cùng phương

Do đó E, I, F thẳng hàng.