Cho tam giác ABC đều có độ dài các cạnh bằng 3a. Lấy điểm M thuộc cạnh BC

Giải SBT Toán lớp 10 Bài tập cuối chương 4

Bài 4.57 trang 69 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC đều có độ dài các cạnh bằng 3a. Lấy điểm M thuộc cạnh BC sao cho MB = 2MC. Tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{MA}$và $\overrightarrow{MC}$bằng

A. $\frac{a^2}{2};$

B. $-\frac{a^2}{2};$

C. a²;

D. –a².

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có: MB = 2MC nên M nằm giữa B và C

$\Rightarrow \frac{BM}{MC}=\frac{2}{1}\Rightarrow \frac{BM}{BM+MC}=\frac{2}{2+1}$

Hay $\frac{BM}{BC}=\frac{2}{3}\Rightarrow BM=\frac{2}{3}BC$

Do đó $\overrightarrow{BM}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}$

Tương tự ta có $\overrightarrow{MC}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}.$

• Khi đó:

• Tam giác ABC đều có độ dài cạnh bằng 3a nên AB = AC = BC = 3a và $\widehat{BAC}=60°.$

Ta có: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB.AC.cos\widehat{BAC}$

= 3a.3a.cos60° = $\frac{9}{2}{a}^2$

Do đó 

Vậy $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MC}=$$-\frac{1}{2}$a².

Ta chọn phương án B.