Cho hình thang vuông ABCD có góc DAB=ABC= 90 độ

Giải SBT Toán lớp 10 Bài tập cuối chương 4

Bài 4.65 trang 70 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hình thang vuông ABCD có $\widehat{DAB}=\widehat{ABC}=90°,$BC = 1, AB = 2 và AD = 3. Gọi M là trung điểm của AB.

a) Hãy biểu thị các vectơ $\overrightarrow{CM},\overrightarrow{CM}$theo hai vectơ $\overrightarrow{AB}$và $\overrightarrow{AD}$

b) Gọi N là trung điểm CD, G là trọng tâm tam giác MCD, và I là điểm thuộc cạnh CD sao cho 9IC = 5ID. Chứng minh rằng A, G, I thẳng hàng.

c) Tính độ dài các đoạn thẳng AI và BI.

Lời giải:

a) Vì M là trung điểm của AB nên $\overrightarrow{BM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$

Gọi E là hình chiếu của C trên AD. Khi đó $\widehat{CEA}=90°$

Tứ giác ABCE có $\widehat{DAB}=\widehat{ABC}=\widehat{CEA}=90°$nên là hình chữ nhật

$\Rightarrow$ EA = CB = 1

Mà AD = 3 do đó AE = $\frac{1}{3}$AD

$\Rightarrow \overrightarrow{EA}=\frac{1}{3}\overrightarrow{DA}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}$

Mà $\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{EA}$(do ABCE là hình chữ nhật)

$\Rightarrow \overrightarrow{CB}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}$

$\Rightarrow \overrightarrow{CM}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BM}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$

• Ta có: $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{ED}$

Mà $\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{BA}$(do ABCE là hình chữ nhật)

Và $\overrightarrow{ED}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}$

$\Rightarrow \overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}=-\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}$

Vậy $\overrightarrow{CM}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$và $\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}.$

b) Vì G là trọng tâm của tam giác MCD nên ta có:

$\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{AG}$

ABCD là hình chữ nhật nên cũng là hình bình hành

Do đó 

Vì I thuộc cạnh CD nên hai vectơ $\overrightarrow{IC}$và $\overrightarrow{ID}$ngược hướng nhau

Lại có 9IC = 5ID nên $9\overrightarrow{IC}=-5\overrightarrow{ID}$hay $\overrightarrow{IC}=-\frac{5}{9}\overrightarrow{ID}$

Theo Nhận xét ở Ví dụ 2, Bài 9 (trang 53, Sách bài tập, Toán 10, Tập một), với điểm A ta có:

Do đó hai vectơ $\overrightarrow{AI}$và $\overrightarrow{AG}$cùng phương

Suy ra ba điểm A, I, G thẳng hàng.

c) • Theo câu a ta có 

Mà AB ⊥ AD nên $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}=0$

Do đó ta có: 196AI² = 81AB² + 64AD²

$\Rightarrow$ 196AI² = 81.2² + 64.3² = 900

$\Rightarrow$ AI² = $\frac{225}{49}$

$\Rightarrow$ AI = $\frac{15}{7}$

• Ta có: 

Vậy AI = $\frac{15}{7}$và BI = $\frac{13}{7}$