Cho hình bình hành ABCD. Các tia phân giác của các góc

Giải Toán 8 Bài 9: Hình chữ nhật

Video Giải Bài 64 trang 100 Toán 8 Tập 1

Bài 64 trang 100 Toán 8 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD. Các tia phân giác của các góc A, B, C, D cắt nhau như trên hình 91. Chứng minh rằng EFGH là hình chữ nhật.

Lời giải:

Gọi M, N, P, Q lần lượt là giao điểm của các đường phân giác với các cạnh của hình bình hành.

Ta có: $\widehat{D_1}=\widehat{D_2}=\frac{\widehat{ADC}}{2}$ (DN là phân giác $\widehat{ADC}$)

$\widehat{B_1}=\widehat{B_2}=\frac{\widehat{ABC}}{2}$ (BQ là phân giác $\widehat{ABC}$)

Mà $\widehat{ADC}=\widehat{ABC}$(hai góc đối của hình bình hành ABCD)

$\Rightarrow \widehat{D_1}=\widehat{B_1}$

Vì ABCD là hình bình hành AB // CD $\Rightarrow \widehat{Q_1}=\widehat{B_1}$ (hai góc so le trong)

$\Rightarrow \widehat{D_1}=\widehat{Q_1}$

Mà hai góc ở vị trí đồng vị

$\Rightarrow$DN // BQ hay HE // GF

Ta có: $\widehat{A_1}=\widehat{A_2}=\frac{\widehat{DAB}}{2}$ (AP là phân giác $\widehat{DAB}$)

$\widehat{C_1}=\widehat{C_2}=\frac{\widehat{DCB}}{2}$ (CM là phân giác $\widehat{DCB}$)

Mà $\widehat{DAB}=\widehat{DCB}$(hai góc đối của hình bình hành ABCD)

$\Rightarrow \widehat{A_1}=\widehat{C_1}$

Vì ABCD là hình bình hành AB // CD $\Rightarrow \widehat{A_1}=\widehat{QPG}$ (hai góc so le trong)

$\Rightarrow \widehat{C_1}=\widehat{QPB}$

$\Rightarrow$AP //DM hay GH // EF

Xét tứ giác EFGH có:

HE // GF (cmt)

GH // EF (cmt)

$\Rightarrow$EFGH là hình bình hành (1)

Xét tam giác BFC, có:

$\widehat{B_2}+\widehat{C_2}=\frac{\widehat{ABC}}{2}+\frac{\widehat{BCD}}{2}=\frac{\widehat{ABC}+\widehat{BCD}}{2}$

Mà $\widehat{ABC}+\widehat{BCD}=180°$ (hai góc trong cùng phía bù nhau)

$\Rightarrow \widehat{B_2}+\widehat{C_2}=\frac{180°}{2}=90°$

$\Rightarrow \widehat{BFC}=180°-\left(\widehat{B_2}+\widehat{C_2}\right)=90°$ hay $\Rightarrow \widehat{EFG}=90°$(2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác EFGH là hình chữ nhật.