Tìm m để hàm số sau liên tục trên toàn bộ tập số thực R: f(x)=(căn x+5)-2/x+1

Giải SBT Toán 11 Bài tập ôn tập cuối năm

Bài 31 trang 71 SBT Toán 11 Tập 2: Tìm m để hàm số sau liên tục trên toàn bộ tập số thực ℝ:

f(x) =

Lời giải:

+) Với x > −1 thì f(x) = $\frac{\sqrt{x+5}-2}{x+1}$ liên tục.

+) Với x < −1 thì f(x) = m.4^−x + 1 liên tục.

Để hàm số liên tục trên toàn bộ tập số thực ℝ khi và chỉ khi hàm số liên tục tại x = −1.

Ta xét tính liên tục của hàm số tại x = −1. Ta có:

f(– 1) = 4m + 1;

$\underset{x\to {\left(-1\right)}^{+}}{\lim }f\left(x\right)$$=\underset{x\to {\left(-1\right)}^{+}}{\lim }\frac{\sqrt{x+5}-2}{x+1}$$=\underset{x\to {\left(-1\right)}^{+}}{\lim }\frac{x+5-4}{\left(x+1\right)\left(\sqrt{x+5}+2\right)}$;

$=\underset{x\to {\left(-1\right)}^{+}}{\lim }\frac{x+1}{\left(x+1\right)\left(\sqrt{x+5}+2\right)}$$=\underset{x\to {\left(-1\right)}^{+}}{\lim }\frac{1}{\sqrt{x+5}+2}=\frac{1}{4}$.

$\underset{x\to {\left(-1\right)}^{-}}{\lim }f\left(x\right)$$=\underset{x\to {\left(-1\right)}^{-}}{\lim }\left(m\cdot 4^{-x}+1\right)=4m+1$

Suy ra hàm số liên tục trên ℝ khi và chỉ khi 4m+1 = $\frac{1}{4}$$\iff$m = -$\frac{3}{16}$.

Vậy m = -$\frac{3}{16}$ là giá trị cần tìm.