Sách bài tập Toán 11 Bài 17 (Kết nối tri thức): Hàm số liên tục

Giải SBT Toán 11 Bài 17: Hàm số liên tục

Bài 5.21 trang 86 SBT Toán 11 Tập 1:Cho hàm số g(x) liên tục trên ℝ trừ điểm x = 0. Xét tính liên tục của hàm số$f\left(x\right)=\frac{g\left(x\right)}{x}$tại x = 1.

Lời giải:

Do hàm số g(x) liên tục trên ℝ trừ điểmx = 0 nên hàm số g(x) liên tục tại x = 1.

Xét hàm số h(x) = x xác định với mọi x∈ℝ, ta thấy hàm số này liên tục trênℝnên nó cũng liên tục tại x = 1.

Do đó với x ≠ 0, hàm số$f\left(x\right)=\frac{g\left(x\right)}{h\left(x\right)}=\frac{g\left(x\right)}{x}$liên tục tại x = 1.

Bài 5.22 trang 86 SBT Toán 11 Tập 1:Cho hàm số$f\left(x\right)=\begin{array}{l}3n{ê}^{\text{'}}ux\le 1\\ ax+bn{ê}^{\text{'}}u1<x<2\\ 5n{ê}^{\text{'}}ux\ge 2\end{array}$. Xác định a, b để hàm số liên tục trên ℝ.

Lời giải:

+ Với x < 1 thì f(x) = 3 luôn liên tục trên (– ∞; 1).

+ Với 1 < x < 2 thì f(x) = ax + b luôn liên tục trên (1; 2).

+ Với x > 2 thì f(x) = 5 luôn liên tục trên (2; +∞).

Do đó, ta cần xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x = 1 và x = 2.

Ta có: $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\left(ax+b\right)=a+b$; $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }3=3$; f(1) = 3;

$\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }5=5$; $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\left(ax+b\right)=2a+b$;f(2) = 5.

Để hàm số f(x) liên tục trên ℝthì hàm số f(x) phải liên tục tại x = 1 và x = 2, tức là

$\begin{array}{l}\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=f\left(1\right)\\ \underset{x\to 2^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f\left(x\right)=f\left(2\right)\end{array}$$\iff \begin{array}{l}a+b=3\\ 2a+b=5\end{array}\iff \begin{array}{l}a=2\\ b=1\end{array}$

Vậy a = 2, b = 1 thì hàm số f(x) liên tục trênℝ.

Bài 5.23 trang 86 SBT Toán 11 Tập 1:Tìm tham số m để hàm số$f\left(x\right)=\begin{array}{l}\frac{x^2-1}{x-1}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em} neu \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}x<1\\ mx+1\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em} neu \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}x\ge 1\end{array}$liên tục trên ℝ.

Lời giải:

Hàm số đã cho luôn liên tục trên các khoảng (– ∞; 1) và (1; +∞).

Ta cần xét tính liên tục của hàm số đã cho tại x = 1.

Ta có: $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\left(mx+1\right)=m+1$

$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{x^2-1}{x-1}=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{x-1}=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\left(x+1\right)=2$

f(1) = m . 1 + 1 = m + 1.

Để hàm số f(x) liên tục trênℝthì$\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=f\left(1\right)$, tức là m + 1 = 2.

Suy ra m = 1.

Bài 5.24 trang 86 SBT Toán 11 Tập 1:Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng:

a) $f\left(x\right)=\frac{x^3+x+1}{x^2-3x+2}$

b) $g\left(x\right)=\frac{\cos x}{x^2+3x-4}$

Lời giải:

Áp dụng tính chất: Các hàm phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) liên tục trên tập xác định của chúng.

a) $f\left(x\right)=\frac{x^3+x+1}{x^2-3x+2}$

ĐKXĐ: x² – 3x + 2 ≠ 0 ⇔ x ≠ 1 hoặc x ≠ 2.

Do đó, tập xác định của hàm số f(x) là D = (– ∞; 1)∪(1; 2)∪(2; +∞).

Vậy hàm số f(x) liên tục trên các khoảng (– ∞; 1), (1; 2), (2; +∞).

b)$g\left(x\right)=\frac{\cos x}{x^2+3x-4}$

ĐKXĐ: x² + 3x – 4 ≠ 0 ⇔ x ≠ – 4 hoặc x ≠ 1.

Do đó, tập xác định của hàm số g(x) là D = (– ∞; – 4)∪(– 4; 1)∪(1; +∞).

Vậy hàm số g(x) liên tục trên các khoảng (– ∞; – 4), (– 4; 1), (1; +∞).

Bài 5.25 trang 86 SBT Toán 11 Tập 1:Chứng tỏ rằng các phương trình sau có nghiệm trong khoảng tương ứng:

a) $x^2=\sqrt{x+1}$, trong khoảng (1; 2).

b) cos x =x, trong khoảng (0; 1).

Lời giải:

a) Xét hàm số $f\left(x\right)=x^2-\sqrt{x+1}$ xác định trên [– 1; +∞).

Do đó hàm số f(x) liên tục trên đoạn [1; 2].

Mà f(1) = $1-\sqrt{1+1}=1-\sqrt{2}$ < 0 và f(2) = $2^2-\sqrt{2+1}=4-\sqrt{3}>0$

Suy ra f(1) . f(2) < 0.

Do đó, theo tính chất của hàm số liên tục, tồn tại điểm c ∈ (1; 2) sao cho f(c) = 0.

Tức là f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (1; 2).

Vậy phương trình $x^2=\sqrt{x+1}$ có nghiệm trong khoảng (1; 2).

b) Xét hàm số g(x) = cos x – x xác định trên ℝ.

Do đó hàm số g(x) liên tục trên đoạn [0; 1].

Mà g(0) = cos 0 – 0 = 1 > 0 và g(1) = cos 1 – 1 < 0.

Suy ra g(0) . g(1) < 0.

Do đó, theo tính chất của hàm số liên tục, tồn tại điểm c ∈ (0; 1) sao cho g(c) = 0.

Tức là g(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; 1).

Vậy phương trình cos x = x có nghiệm trong khoảng (0; 1).

Lý thuyết Hàm số liên tục

1. Hàm số liên tục tại 1 điểm

Cho hàm $y=f(x)$ xác định trên khoảng $\left(a;b\right)$chứa điểm $x_0$. Hàm số $f(x)$ được gọi là liên tục tại điểm $x_0$ nếu $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=f(x_0)$.

Hàm số không liên tục tại $x_0$ được gọi là gián đoạn tại điểm đó.

2. Hàm số liên tục trên một khoảng

- Hàm số $y=f(x)$ được gọi là liên tục trên khoảng $\left(a;b\right)$ nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng này.

- Hàm số $y=f(x)$ được gọi là liên tục trên đoạn $\left[a;b\right]$nếu nó liên tục trên khoảng $\left(a;b\right)$ và $\underset{x\to a^{+}}{lim}f(x)=f(a),\underset{x\to b^{-}}{lim}f(x)=f(b)$.

*Nhận xét:

- Hàm số đa thức và hàm số $y=\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x},y=c\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{x}$ liên tục trên $\mathbb{R}$.

- Các hàm số $y=\tan \mathrm{x},y=c\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{x},y=\sqrt{x}$ và hàm phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) liên tục trên tập xác định của chúng.

3. Một số tính chất cơ bản

Giả sử hai hàm số $y=f(x)$ và $y=g(x)$ liên tục tại điểm $x_0$. Khi đó:

a, Các hàm số $y=f(x)\pm g(x)$ và $y=f(x).g(x)$ liên tục tại điểm $x_0$.

b, Hàm số $y=\frac{f(x)}{g(x)}$ liên tục tại điểm $x_0$nếu $g(x_0)\ne 0$.