Sách bài tập Toán 11 Bài 15 (Kết nối tri thức): Giới hạn của dãy số

Giải SBT Toán 11 Bài 15: Giới hạn của dãy số

Bài 5.1 trang 77 SBT Toán 11 Tập 1:Tính các giới hạn sau:

a) $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n^2+1}{2n^2+n+2}$ ;

b) $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{2^n+3}{1+3^n}$ .

Lời giải:

a) $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n^2+1}{2n^2+n+2}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1+\frac{1}{n^2}}{2+\frac{1}{n}+\frac{2}{n^2}}=\frac{1}{2}$ .

b) $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{2^n+3}{1+3^n}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{{\left(\frac{2}{3}\right)}^n+{\left(\frac{1}{3}\right)}^{n-1}}{{\left(\frac{1}{3}\right)}^n+1}=0$ .

Bài 5.2 trang 78 SBT Toán 11 Tập 1:Tính các giới hạn sau:

a) $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{n^2+2n}-n-2\right)$ ;

b) $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(2+n^2-\sqrt{n^4+1}\right)$ ;

c) $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{n^2-n+2}+n\right)$ ;

d) $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(3n-\sqrt{4n^2+1}\right)$ .

Lời giải:

a) $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{n^2+2n}-n-2\right)$$=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n^2+2n-{\left(n+2\right)}^2}{\sqrt{n^2+2n}+n+2}$

$=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{-2n-4}{\sqrt{n^2+2n}+n+2}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{-2-\frac{4}{n}}{\sqrt{1+\frac{2}{n}}+1+\frac{2}{n}}=\frac{-2}{2}=-1$.

b)$\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(2+n^2-\sqrt{n^4+1}\right)$$=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{{\left(2+n^2\right)}^2-\left(n^4+1\right)}{2+n^2+\sqrt{n^4+1}}$

$=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{4n^2+3}{2+n^2+\sqrt{n^4+1}}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{4+\frac{3}{n^2}}{\frac{2}{n^2}+1+\sqrt{1+\frac{1}{n^4}}}=\frac{4}{2}=2$.

c) $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{n^2-n+2}+n\right)$$=\underset{n\to +\infty }{\lim }n\left(\sqrt{1-\frac{1}{n}+\frac{2}{n^2}}+1\right)=+\infty$ .

d) $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(3n-\sqrt{4n^2+1}\right)$ $=\underset{n\to +\infty }{\lim }n\left(3-\sqrt{4+\frac{1}{n^2}}\right)=+\infty$ .

Lời giải:

Áp dụng công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số nhân, ta có:

Do đó,$\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(\frac{1-b}{1-a}.\frac{1-a^{n+1}}{1-b^{n+1}}\right)=\frac{1-b}{1-a}$(do |a| < 1, |b| < 1).

Lời giải:

Lời giải:

Nhận thấy S là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn (u_n) với số hạng đầu u₁ = – 1 và công bội q = $-\frac{1}{5}$ .

Do đó,$S=\frac{-1}{1-\left(-\frac{1}{5}\right)}=\frac{-1}{\frac{6}{5}}=-\frac{5}{6}$.

Bài 5.6 trang 78 SBT Toán 11 Tập 1:Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số:

a) 1,(03); b) 3,(23).

Lời giải:

$=1+\frac{\frac{3}{100}}{1-\frac{1}{100}}=1+\frac{1}{33}=\frac{34}{33}$

$=3+\frac{\frac{23}{100}}{1-\frac{1}{100}}=3+\frac{23}{99}=\frac{320}{99}$

Bài 5.7 trang 78 SBT Toán 11 Tập 1:Cho dãy số (u_n) với$u_n=\frac{\cos n}{n^2}$. Tính$\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n$.

Lời giải:

Ta có $\left(u_n\right)=\left(\frac{\cos n}{n^2}\right)=\frac{\left(\cos n\right)}{n^2}\le \frac{1}{n^2}$ .

Mà $\frac{1}{n^2}\to 0$ khi n → +∞ nên $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=0$ .

a) Tính s_n.

Lời giải:

a)

Theo cách xác định tam giác A₂B₂C₂, ta có s₂ = $\frac{1}{4}$ s₁.

Vậy $s_n={\left(\frac{1}{4}\right)}^{n-1}{s}_1={\left(\frac{1}{4}\right)}^{n-1}.3=3{\left(\frac{1}{4}\right)}^{n-1}$ .

Bài 5.9 trang 78 SBT Toán 11 Tập 1:Cho dãy số (u_n) với u₁= 2,$u_{n+1}=u_n+\frac{2}{3^n}$, n ≥ 1. Đặt v_n= u_{n + 1}– u_n.

b) Tính u_n theo n.

c) Tính $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n$ .

Lời giải:

a) Ta có v_n = u_{n + 1} – u_n = $\left(u_n+\frac{2}{3^n}\right)-u_n=\frac{2}{3^n}$ .

$=2.\frac{1-\frac{1}{3^{n+1}}}{1-\frac{1}{3}}=3\left(1-\frac{1}{3^{n+1}}\right)$.

= u_{n +1} – u₁ = $\left(u_n+\frac{2}{3^n}\right)-2=u_n+\frac{2}{3^n}-2$ .

Do đó, $u_n+\frac{2}{3^n}-2=3\left(1-\frac{1}{3^{n+1}}\right)$ . Từ đó suy ra $u_n=5-\frac{1}{3^{n-1}}$ .

c) Ta có

$\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(5-\frac{1}{3^{n-1}}\right)=\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(5-{\left(\frac{1}{3}\right)}^{n-1}\right)=5$ .

Bài 5.10 trang 78 SBT Toán 11 Tập 1:Cho dãy số (u_n) có tính chất$\left(u_n-\frac{n}{n+1}\right)\le \frac{1}{n^2}$. Tính$\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n$

Lời giải:

Ta có $\left(u_n-\frac{n}{n+1}\right)\le \frac{1}{n^2}$ , mà $\frac{1}{n^2}\to 0$ khi n → +∞ nên $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(u_n-\frac{n}{n+1}\right)=0$ .

Mặt khác,

$\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(u_n-\frac{n}{n+1}\right)=\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n-\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n}{n+1}=\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n-1$ .

Vậy $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n$ = 1.

Lý thuyết Giới hạn của dãy số

1. Giới hạn hữu hạn của dãy số

Ta nói dãy số $\left(u_n\right)$ có giới hạn 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu $\left|u_n\right|$ có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý , kể tử một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=0$ hay $u_n\to 0$ khi $n\to +\mathrm{\infty }$.

Ta nói dãy số $\left(u_n\right)$ có giới hạn là số thực a khi n dần tới dương vô cực, nếu $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}\left(u_n-a\right)=0$, kí hiệu $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=a$ hay $u_n\to a$ khi $n\to +\mathrm{\infty }$.

* Chú ý: Nếu $u_n=c$ (c là hằng số) thì $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=c$

2. Định lí về giới hạn hữu hạn của dãy số

a, Nếu $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=a,\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{v}_n=b$ thì

$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}(u_n\pm v_n)=a\pm b$

$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}(u_n.v_n)=a.b$

$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}(\frac{u_n}{v_n})=\frac{a}{b}\left(b\ne 0\right)$

b, Nếu $u_n\ge 0$ thì với mọi n và $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=a$ thì $a\ge 0$ và $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}\sqrt{u_n}=\sqrt{a}$.

3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

$S=\frac{u_1}{1-q}\left(\left|q\right|<1\right)$

4. Giới hạn vô cực của dãy số

Dãy số $\left(u_n\right)$ được gọi là có giới hạn $+\mathrm{\infty }$khi $n\to +\mathrm{\infty }$nếu $u_n$ có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=+\mathrm{\infty }$ hay $u_n\to +\mathrm{\infty }$ khi $n\to +\mathrm{\infty }$.

Dãy số $\left(u_n\right)$ được gọi là có giới hạn $-\mathrm{\infty }$ khi $n\to +\mathrm{\infty }$ nếu $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\left(-u_n\right)=+\mathrm{\infty }$, kí hiệu $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=-\mathrm{\infty }$ hay $u_n\to -\mathrm{\infty }$ khi $n\to +\mathrm{\infty }$.

*Quy tắc:

Nếu $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=a$ và $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{v}_n=+\mathrm{\infty }$(hoặc$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{v}_n=-\mathrm{\infty }$) thì $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}(\frac{u_n}{v_n})=0$.

Nếu $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=a>0$ và $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{v}_n=0,\mathrm{\forall }n$ thì $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}(\frac{u_n}{v_n})=+\mathrm{\infty }$.

Nếu $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{v}_n=a>0$ và $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=+\mathrm{\infty }$ thì $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}(u_n.v_n)=+\mathrm{\infty }$.