Cho dãy số (un) với u1 = 2, u(n+1)=un+2/3^n, n >= 1. Đặt vn = un + 1 – un

Giải SBT Toán 11 Bài 15: Giới hạn của dãy số

Bài 5.9 trang 78 SBT Toán 11 Tập 1:Cho dãy số (u_n) với u₁= 2,$u_{n+1}=u_n+\frac{2}{3^n}$, n ≥ 1. Đặt v_n= u_{n + 1}– u_n.

b) Tính u_n theo n.

c) Tính $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n$ .

Lời giải:

a) Ta có v_n = u_{n + 1} – u_n = $\left(u_n+\frac{2}{3^n}\right)-u_n=\frac{2}{3^n}$ .

$=2.\frac{1-\frac{1}{3^{n+1}}}{1-\frac{1}{3}}=3\left(1-\frac{1}{3^{n+1}}\right)$.

= u_{n +1} – u₁ = $\left(u_n+\frac{2}{3^n}\right)-2=u_n+\frac{2}{3^n}-2$ .

Do đó, $u_n+\frac{2}{3^n}-2=3\left(1-\frac{1}{3^{n+1}}\right)$ . Từ đó suy ra $u_n=5-\frac{1}{3^{n-1}}$ .

c) Ta có

 $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(5-\frac{1}{3^{n-1}}\right)=\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(5-{\left(\frac{1}{3}\right)}^{n-1}\right)=5$ .