Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, cạnh bên SA bằng a căn 2

Giải SBT Toán 11 Bài tập ôn tập cuối năm

Bài 21 trang 69 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, cạnh bên SA bằng a$\sqrt{2}$ . Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC là

A. $\frac{a\sqrt{6}}{4}$.

B. $\frac{a\sqrt{6}}{3}$.

C. $\frac{a\sqrt{6}}{2}$.

D. $\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Gọi O là giao điểm của AC, BD.

Vì S.ABCD là hình chóp đều nên SO $\perp$ (ABCD), suy ra SO $\perp$ BD.

Do ABCD là hình vuông nên AC $\perp$ BD.

Vì SO $\perp$ BD và AC $\perp$ BD nên BD $\perp$ (SAC).

Kẻ OE $\perp$ SC tại E. Vì BD $\perp$(SAC) nên BD $\perp$ OE. Do đó d(BD, SC) = OE.

Xét tam giác ABC vuông tại B, có $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}$ .

Vì ABCD là hình vuông nên O là trung điểm của AC, suy ra AO = OC = $\frac{AC}{2}$ = $\frac{a\sqrt{2}}{2}$ .

Vì SO $\perp$ (ABCD) nên SO$\perp$ AC.

Xét tam giác SOA vuông tại O, có SO = $\sqrt{S{A}^2-A{O}^2}=\sqrt{2a^2-\frac{a^2}{2}}=\frac{a\sqrt{6}}{2}$ .

Xét tam giác SOC vuông tại O, có $\frac{1}{O{E}^2}=\frac{1}{S{O}^2}+\frac{1}{O{C}^2}=\frac{4}{6a^2}+\frac{4}{2a^2}=\frac{8}{3a^2}$

$\Rightarrow OE=\frac{a\sqrt{6}}{4}$.

Vậy d(BD, SC) = $\frac{a\sqrt{6}}{4}$ .