Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có AA'B'C' là hình tứ diện đều cạnh bằng a. Tính thể tích khối

Giải SBT Toán 11 Bài tập ôn tập cuối năm

Bài 22 trang 69 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có AA'B'C' là hình tứ diện đều cạnh bằng a. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' bằng

A. $\frac{a^3\sqrt{2}}{12}$.

B. $\frac{a^3\sqrt{2}}{4}$.

C. $\frac{a^3\sqrt{6}}{3}$.

D. $\frac{a^3\sqrt{6}}{12}$.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Gọi O là tâm của tam giác A'B'C'.

Do AA'B'C' là hình tứ diện đều nên O là trọng tâm đồng thời là trực tâm của tam giác A'B'C' và AO $\perp$ (A'B'C').

Gọi A'O $\cap$ B'C' = H, suy ra A'H $\perp$ B'C'.

Xét tam giác A'B'C' đều cạnh a, A'H là đường cao nên A'H = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ , $S_{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$ .

Vì A'O = $\frac{2}{3}$A'H nên A'O = $\frac{a\sqrt{3}}{3}$ .

Vì AO $\perp$ (A'B'C') nên AO $\perp$ A'O hay tam giác AA'O vuông tại O.

Xét tam giác AA'O vuông tại O, có AO = $\sqrt{AA\text{'}-A^{\text{'}}{O}^2}=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{3}}=\frac{a\sqrt{6}}{3}$ .

Khi đó $V_{ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=S_{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}\cdot AO=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{a\sqrt{6}}{3}=\frac{a^3\sqrt{2}}{4}$ .

Vậy $V_{ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=\frac{a^3\sqrt{2}}{4}$ .