Chứng minh rằng: a) sin3x = 4sinx sin(60 độ − x) sin(60 độ + x)

Giải SBT Toán 11 Bài tập ôn tập cuối năm

Bài 26 trang 70 SBT Toán 11 Tập 2: Chứng minh rằng:

a) sin3x = 4sinx sin(60° − x) sin(60° + x);

b) $\frac{\sin x-\sin 2x+\sin 3x}{\cos x-\cos 2x+\cos 3x}=\tan 2x$.

Lời giải:

a) Có sin(60° − x) sin(60° + x) = -$\frac{1}{2}$(cos120^o - cos(-2x))

= -$\frac{1}{2}$$\left(-\frac{1}{2}-cos2x\right)$ = $=\frac{1}{4}+\frac{1}{2}$cos2x.

Do đó 4sinx sin(60° − x) sin(60° + x) = 4sinx$\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{2}cos2x\right)$ = sinx + 2sinxcos2x

= sinx + sin3x + sin(−x) = sinx + sin3x – sinx = sin3x.

Vậy sin3x = 4sinx sin(60° − x) sin(60° + x).

b) Vế phải = $\frac{\sin x-\sin 2x+\sin 3x}{\cos x-\cos 2x+\cos 3x}$$=\frac{\left(\sin x+\sin 3x\right)-\sin 2x}{\left(\cos x+\cos 3x\right)-\cos 2x}$

$=\frac{2\sin 2x\cos x-\sin 2x}{2\cos 2x\cos x-\cos 2x}$$=\frac{\sin 2x\left(2\cos x-1\right)}{\cos 2x\left(2\cos x-1\right)}$= tan2x = vế trái.

Vậy $\frac{\sin x-\sin 2x+\sin 3x}{\cos x-\cos 2x+\cos 3x}$= tan2x.