Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, đường thẳng SA vuông góc

Giải SBT Toán 11 Bài tập ôn tập cuối năm

Bài 39 trang 72 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a$\sqrt{2}$.

a) Chứng minh (SBC) $\perp$ (SAB).

b) Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD).

c) Tính theo a khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC).

Lời giải:

a) Do ABCD là hình vuông nên BC $\perp$ AB

Mà SA $\perp$ BC (do SA $\perp$ (ABCD)) nên BC $\perp$ (SAB), suy ra (SBC) $\perp$ (SAB).

b) Vì SA $\perp$ (ABCD) nên AC là hình chiếu của SC trên mặt phẳng (ABCD).

Do đó, góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) bằng góc giữa hai đường thẳng SC và AC, mà (SC, AC) = $\widehat{SCA}$ .

Xét tam giác ABC vuông tại B, có AC = $\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}$.

Vì SA $\perp$ (ABCD) nên SA $\perp$ AC hay tam giác SAC vuông tại A.

Xét tam giác SAC vuông tại A, có AC = SA = a$\sqrt{2}$ nên tam giác SAC vuông cân tại A, suy ra $\widehat{SCA}=45°$.

Vậy góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 45°.

c) Kẻ AH $\perp$ SB tại H.

Vì (SBC) $\perp$ (SAB), (SBC) $\cap$ (SAB) = SB mà AH $\perp$ SB nên AH $\perp$ (SBC).

Khi đó d(A, (SBC)) = AH.

Vì SA $\perp$ (ABCD) nên SA $\perp$ AB hay tam giác SAB vuông tại A.

Xét tam giác SAB vuông tại A, AH là đường cao, có:

$\frac{1}{A{H}^2}=\frac{1}{S{A}^2}+\frac{1}{A{B}^2}$$=\frac{1}{2a^2}+\frac{1}{a^2}=\frac{3}{2a^2}$$\Rightarrow AH=\frac{\sqrt{6}a}{3}$.

Vậy d(A, (SBC)) = $\frac{\sqrt{6}a}{3}$.