Cho sinx =-1/3, x thuộc (pi; 3pi/2). Tính giá trị cos (2x-pi/3)

Giải SBT Toán 11 Bài tập ôn tập cuối năm

Bài 25 trang 70 SBT Toán 11 Tập 2: Cho sinx = -$\frac{1}{3}$, x$\in$$\left(\pi ;\frac{3\pi }{2}\right)$ . Tính giá trị cos$\left(2x-\frac{\pi }{3}\right)$.

Lời giải:

Có sin²x + cos²x = 1 nên ${\left(-\frac{1}{3}\right)}^2+co{s}^{2}x=1$$\iff co{s}^{2}x=\frac{8}{9}$$\iff cosx=\pm \frac{2\sqrt{2}}{3}$ .

Mà $x\in \left(\pi ;\frac{3\pi }{2}\right)$ nên cosx < 0. Do đó cosx = -$\frac{2\sqrt{2}}{3}$.

Lại có cos$\left(2x-\frac{\pi }{3}\right)$ = cos2xcos$\frac{\pi }{3}$+sin2xsin$\frac{\pi }{3}$

= $\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x

= $\frac{1}{2}$(1-2sin²x) + $\sqrt{3}$sinxcosx

$=\frac{1}{2}\left(1-2{\left(-\frac{1}{3}\right)}^2\right)+\sqrt{3}\cdot \left(-\frac{1}{3}\right)\cdot \left(-\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)=\frac{7+4\sqrt{6}}{18}$.

Vậy $cos\left(2x-\frac{\pi }{3}\right)=\frac{7+4\sqrt{6}}{18}$.