Chứng minh rằng các trung điểm của bốn cạnh của một hình

Giải Toán 8 Bài 11: Hình thoi

Video Giải Bài 75 trang 106 Toán 8 Tập 1

Bài 75 trang 106 Toán 8 Tập 1:

*Lời giải

+) Xét tam giác ABD có:

E là trung điểm của AB

H là trung điểm của AD

⇒ EH là đường trung bình của tam giác ADB

$\Rightarrow EH=\frac{BD}{2}$(1)

+) Xét tam giác ABC có:

E là trung điểm của AB

F là trung điểm của BC

⇒ EF là đường trung bình của tam giác ABC

$\Rightarrow EF=\frac{AC}{2}$(2)

+) Xét tam giác BCD có:

F là trung điểm của BC

G là trung điểm của DC

⇒ FG là đường trung bình của tam giác BCD

$\Rightarrow FG=\frac{BD}{2}$(3)

+) Xét tam giác CDA có:

H là trung điểm của AD

G là trung điểm của DC

⇒ HG là đường trung bình của tam giác CDA

$\Rightarrow HG=\frac{AC}{2}$(4)

Ta lại có ABCD là hình chữ nhật nên AC = BD (5)

Từ (1), (2), (3), (4) và (5) suy ra EF = FG = GH= HE

⇒Tứ giác EFGH là hình thoi.

*Phương pháp giải

- Nhận thấy rất nhiều trung điểm: ta sẽ dùng tính chất đường trùng bình ở đây để suy ra các cặp cạnh bằng nhau

- Vận dụng khái niệm và dấu hiện nhận biết hình thoi: ví dụ: Hình thoi là hình có các cạnh bằng nhau.

*Lý thuyết cần nắm và dạng bài toán về hình chữ nhật, hình thoi:

a) Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau.

Tính chất

- Các cạnh đối song song

- Các góc đối bằng nhau

- Hai đường chéo vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

- Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc ở đỉnh.

Dấu hiệu nhận biết hình thoi

- Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi.

- Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi.

- Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình thoi.

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1. Chứng minh tứ giác là hình thoi

Phương pháp giải: Vận dụng các dấu hiệu nhận biết để chứng minh một tứ giác là hình thoi

Dạng 2. Vận dụng tính chất của hình thoi để chứng minh các tính chất hình học

Phương pháp giải: Vận dụng định nghĩa và các tính chất về cạnh, góc và đường chéo của hình thoi

Dạng 3. Tìm điều kiện để tứ giác là hình thoi

Phương pháp giải: Vận dụng định nghĩa, các tính chất và dấu hiệu nhận biết của hình thoi

b) Hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc vuông.

Chú ý: Nếu một tứ giác có ba góc vuông thì góc còn lại cũng là góc vuông và tứ giác đó là hình chữ nhật.

Tính chất

Trong hình chữ nhật, hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Nhận xét: Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền.

Dấu hiệu nhận biết

- Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật

- Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật

Áp dụng vào tam giác vuông:

a) Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.

b) Nếu một tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy thì tam giác đó là tam giác vuông.

Các dạng toán và ví dụ minh họa

Dạng 1: Chứng minh tứ giác là hình chữ nhật

Vận dụng các dấu hiệu nhận biết để chứng minh một tứ giác là hình chữ nhật.

a) Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật.

b) Hình thang cân có một góc vuông là hình chữ nhật.

c) Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật.

d) Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.