50 bài tập về hình thoi (có đáp án 2024) – Toán 8

Các dạng toán về Hình thoi và cách giải - Toán lớp 8

I. Kiến thức cần nhớ

1. Định nghĩa: Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau.

ABCD là hình thoi$\iff$ AB = BC = CD = DA.

Nhận xét: Hình thoi cũng là một hình bình hành.

2. Tính chất:

- Hình thoi có tất cả các tính chất của hình bình hành.

- Trong hình thoi:

a) Hai đường chéo vuông góc với nhau;

b) Hai đường chéo là đường phân giác của các góc ở đỉnh của hình thoi.

3. Dấu hiệu nhận biết:

a) Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi;

b) Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi;

c) Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc là hình thoi;

d) Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc ở đỉnh là hình thoi.

II. Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1. Chứng minh tứ giác là hình thoi

Phương pháp giải:

Ví dụ 1.

Lời giải

Vì E là trung điểm của AB, F là trung điểm của BC nên EF là đường trung bình của tam giác ABC

$\Rightarrow \begin{array}{l}\text{EF//AC}\\ \text{EF}=\frac{1}{2}AC\end{array}$(1)

Vì G là trung điểm của DC, H là trung điểm của DA nên HG là đường trung bình của tam giác ADC

$\Rightarrow \begin{array}{l}\text{HG//AC}\\ HG=\frac{1}{2}AC\end{array}$(2)

Từ (1) và (2)$\Rightarrow \begin{array}{l}\text{HG//EF}\\ HG=\text{EF}\end{array}$

$\Rightarrow$Tứ giác EFGH là hình bình hành.

Lại có G là trung điểm của DC, F là trung điểm của BC nên GF là đường trung bình của tam giác BCD.

$\Rightarrow GF=\frac{1}{2}BD$

Mà BD = AC

Nên GF = EF

Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi nên tứ giác EFGH là hình thoi.

Dạng 2. Vận dụng tính chất của hình thoi để chứng minh các tính chất hình học

Phương pháp giải:

Ví dụ:

a) Chứng minh AE = AF;

b) Chứng minh tam giác AEF đều.

Lời giải:

a) Vì ABCD là hình thoi nên ta có:

$\begin{array}{l}\widehat{ADE}=\widehat{ABF}\\ AD=AB\end{array}$(tính chất)

Lại có:

$\begin{array}{l}AE\perp CD\Rightarrow \widehat{AED}=90°\\ AF\perp BC\Rightarrow \widehat{A\text{}FB}=90°\end{array}$

Xét tam giác ADE và tam giác ABF có:

$\begin{array}{l}\widehat{ADE}=\widehat{ABF}\\ AD=AB\\ \widehat{AED}=\widehat{BFA}=90°\end{array}$

$\Rightarrow \Delta ADE=\Delta ABF$ (cạnh huyền – góc nhọn)

$\Rightarrow$AE = AF (hai cạnh tương ứng)

b) Xét $\Delta ABF$ vuông tại F ta có:

$\widehat{BFA}+\widehat{ABF}+\widehat{FAB}=180°$

$\iff 90°+60°+\widehat{FAB}=180°$

$\iff \widehat{FAB}=30°$

Xét $\Delta ADE$ vuông tại E ta có:

$\widehat{DEA}+\widehat{ADE}+\widehat{EAD}=180°$

$\iff 90°+60°+\widehat{EAD}=180°$

$\iff \widehat{EAD}=30°$

Ta có: ABCD là hình thoi nên AD // BC$\Rightarrow \widehat{\text{DA}B}+\widehat{B}=180°$(hai góc trong cùng phía)

Nên $\widehat{DAB}=180°-\widehat{B}$$=180°-60°=120°$

Lại có:$\widehat{DAB}=$$\widehat{DAE}+\widehat{EAF}+\widehat{FAB}$$=120°$

$30°+\widehat{EAF}+30°=120°$

$\Rightarrow \widehat{EAF}=60°$

Xét $\Delta AEF$ có:

AE = AF

$\widehat{EAF}=60°$

Do đó: $\Delta AEF$ là tam giác đều.

Dạng 3. Tìm điều kiện để tứ giác là hình thoi

Phương pháp giải:

Ví dụ:

a) Chứng minh tứ giác MPNQ là hình bình hành;

b) Hình thang ABCD phải có thêm điều kiện gì để tứ giác MPNQ là hình thoi?

Lời giải:

a) Vì M là trung điểm của AB, P là trung điểm của BD nên MP là đường trung bình của tam giác ABD

$\Rightarrow \begin{array}{l}MP//AD\\ MP=\frac{1}{2}AD\end{array}$(1)

Vì Q là trung điểm của AC, N là trung điểm của DC nên QN là đường trung bình của tam giác ACD

$\Rightarrow \begin{array}{l}NQ//AD\\ NQ=\frac{1}{2}AD\end{array}$(2)

Từ (1) và (2)$\Rightarrow \begin{array}{l}NQ//MP\\ NQ=MP\end{array}$

Xét tứ giác MPNQ có:

NQ // MP

Do đó: tứ giác MPNQ là hình bình hành.

b) Để hình bình hành MPNQ là hình thoi thì MP = MQ

Vì M là trung điểm của AB, Q là trung điểm của AC nên MQ là đường trung bình của tam giác ABC

$\Rightarrow MQ=\frac{1}{2}BC$

Để MQ = MP thì $\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}AD$ hay BC = AD

Vậy để MPNQ là hình thoi thì hình thang ABCD phải có hai cạnh bên AD và BC bằng nhau.

III. Bài tập tự luyện

Bài 1.

a) Cho hình thoi ABCD có hai đường cao AH, AK. Chứng minh AH = AK.

b) Cho hình bình hành ABCD có hai đường cao AH, AK bằng nhau. Chứng minh ABCD là hình thoi.

Bài 2.

Bài 3.

Bài 4.

a) EFGH là hình gì? Vì sao?

b) Chứng minh AC, BD, EG, FH đồng quy.

Bài 5.

a) Tứ giác APMQ là hình gì? Vì sao?

b) Chứng minh PQ // BC.

Bài 6.

a) Chứng minh E và F đối xứng nhau qua AB;

b) Chứng minh tứ giác MEBF là hình thoi;

c) Hình bình hành ABCD có thêm điều kiện gì để tứ giác BCNE là hình thang cân.

Bài 7.

Bài 8.

Bài 9.

Bài 10.

Bài 11.

a) $BN\perp CM$;

b) Tứ giác MNHK là hình thoi.

Bài 12.

Bài 13.

a) Chứng minh tứ giác AMND là hình thoi.

b) Gọi E là giao điểm của AN và DM; F là giao điểm của BN và MC. Tứ giác MENF là hình gì? Vì sao?

Bài 14.

Kẻ $AE\perp BC$ $\left(E\in BC\right);$ $AF\perp CD(F\in CD)$

a) Chứng minh $\Delta AEF$ đều.

b) Biết AB = 4cm. Tính độ dài các đường chéo của hình thoi.

Bài 15.

Bài 16.

Bài 17.

a) Tứ giác AEDF là hình gì?

b) Điểm D ở vị trí nào trên BC thì AEDF là hình thoi?