50 bài tập về đường thẳng song song (có đáp án 2024) – Toán 8

Các dạng toán về đường thẳng song song và cách giải - Toán lớp 8

I. Lý thuyết

1. Định nghĩa khoảng cách giữa hai đường thẳng song song

Khoảnh cách giữa hai đường thẳng song song là khoảng cách giữa một điểm tùy ý trên đường thẳng này đến đường thẳng kia.

Cho hai đường thẳng a và b song song với nhau. Khi đó trên đường thẳng a lấy điểm A và trên b lấy điểm B’.

Vẽ $\text{A A'}\perp \text{b}\left(A\text{'}\in b\right)$; $\text{B'B}\perp a\left(B\in a\right)$. Khoảng cách từ đường thẳng a đến đường thẳng b là đoạn AA’ hoặc BB’.

2. Tính chất chất các điểm cách đều một đường thẳng cho trước

Các điểm cách đường thẳng b một khoảng bằng h thì nằm trên đường thẳng song song với b và cách b một khoảng bằng h.

a // b // a’

a và a’ cách b một khoảng bằng h.

Nhận xét: Tập hợp các điểm cách một đường thẳng cố định một khoảng bằng h không đổi là hai đường thẳng song song với đường thẳng đó và cách đường thẳng đó một khoảng bằng h.

3. Ghi chú

- Tập hợp các điểm cách điểm O cố định một khoảng bằng r không đổi là đường tròn (O;r)

- Tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút của đoạn một đoạn thẳng cố định là đường trung trực của đoạn thẳng đó.

- Tập hợp các điểm nằm trong góc và cách đều hai cạnh của góc là tia phân giác của góc đó.

II. Dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Phát biểu tập hợp điểm không chứng minh

Phương pháp giải:

Ví dụ:

Lời giải:

a) Tập hợp các điểm cách đều đường thẳng a cố định một khoảng 2cm là hai đường thẳng song song với đường thẳng a và cách đều đường thẳng a một khoảng 2cm.

b) Tập hợp đỉnh A các tam giác vuông ABC có cạnh huyền BC cố định và BC = 4cm là đường tròn tâm O bán kính $\frac{BC}{2}$ với O là trung điểm của BC và bỏ đi hai điểm B, C.

c) Tập hợp giao điểm O của hai đường chéo của hình chữ nhật ABCD có cạnh BC cố định là đường trung trực của đoạn BC trừ hai điểm B, C.

Dạng 2: Vận dụng kiến thúc về đường thẳng song song với đường thẳng cho trước để chứng minh bài toàn

Phương pháp giải:

Ví dụ:

Lời giải:

Vì BD, CF là đường cao của tam giác ABC nên$\begin{array}{l}BD\perp AC\\ CE\perp AB\end{array}$

Do đó BDC vuông tại D, CEB vuông tại E.

Gọi M là trung điểm của BC.

$\Rightarrow$DM, EM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $∆$BDC và $∆$CEB

Áp dụng tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông ta được:

$\begin{array}{l}DM=\frac{1}{2}BC\\ EM=\frac{1}{2}BC\end{array}$$\Rightarrow DM=EM$$\Rightarrow ∆$MDE cân tại M.

Từ giả thuyết ta có tứ giác BHKC là hình thang vuông nên vẽ MI$\perp$DE thì BH // MI //CK (1) (vì cùng vuông góc với đường thẳng DE).

Mà ta có: BM = MC (2) (do ta vẽ hình trên)

Từ (1), (2)$\Rightarrow$BH, MI, CK là ba đường thẳng song song và cách đều nên chúng chắn trên đường thẳng HK hai đoạn thẳng liên tiếp bằng nhau là HI = IK (3)

Áp dụng tính chất của đường cao ứng với cạnh đáy của tam giác cân MDE ta được MI là đường trung tuyến của tam giác MDE

$\Rightarrow$I là trung điểm của ED

$\Rightarrow$EI = ID (4)

Trừ theo vế đẳng thức (3) cho (4) ta được: HI – EI = IK – ID

Hay HE = DK.

Dạng 3: Tìm quỹ tích

Phương pháp giải:

Ví dụ:

Lời giải:

Gọi E, F là trung điểm của AB và AC. Ta sẽ chứng minh E, I, F thẳng hàng.

Do E, I lần lượt là trung điểm của AB và AM nên EI là đường trung bình của tam giác ABM

$\Rightarrow$EI //BM$\Rightarrow$EI // BC (1)

Do F, I lần lượt là trung điểm của AC và AM nên IF là đường trung bình của tam giác AMC

$\Rightarrow$IF // MC$\Rightarrow$FI // BC (2)

Từ (1) và (2)$\Rightarrow$E, I, F thẳng hàng

Mà E là trung điểm AB, F là trung điểm AC nên EF là đường trung bình của tam giác ABC

Mà E, F cố định do AB, AC cố định

Nên khi M di chuyển trên BC thì trung điểm I của AM di chuyển trên EF là đường trung bình của tam giác ABC.

III. Bài tập tự luyện

Bài 1:

Bài 2:

Bài 3:

Bài 4:

Bài 5:

Bài 6:

Bài 7:

Bài 8:

Bài 9:

Bài 10: