50 bài tập về hình chữ nhật (có đáp án 2024) – Toán 8

Các dạng toán về Hình chữ nhật và cách giải - Toán lớp 8

I. Kiến thức cần nhớ

1. Định nghĩa: Hình chữ nhật là tứ giác có 4 góc vuông

Tứ giác ABCD là hình chữ nhật$\iff \widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}=\widehat{D}={90}^o$

Nhận xét: Hình chữ nhật cũng là một hình bình hành, một hình thang cân

2. Tính chất

- Hình chữ nhật có tất cả các tính chất của hình bình hành và hình thang cân.

- Trong hình chữ nhật, hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

3. Dấu hiệu nhận biết:

a) Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật.

b) Hình thang cân có một góc vuông là hình chữ nhật.

c) Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật.

d) Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.

4. Áp dụng vào tam giác vuông:

a) Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.

b) Nếu một tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy thì tam giác đó là tam giác vuông.

II. Các dạng toán và ví dụ minh họa

Dạng 1: Chứng minh tứ giác là hình chữ nhật

Phương pháp giải:

a) Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật.

b) Hình thang cân có một góc vuông là hình chữ nhật.

c) Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật.

d) Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm M bất kì trên cạnh BC. Gọi D và E theo thứ tự là chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB và AC. Tứ giác ADME là hình gì? Tại sao?

Lời giải:

$∆ABC$ vuông tại A nên $\widehat{BAC}={90}^o$; mà D thuộc cạnh AB, E thuộc cạnh AC nên $\widehat{DAE}={90}^o$

Vì $MD\perp AB$ tại D nên $\widehat{ADM}={90}^o$

$ME\perp AC$ tại E nên $\widehat{AEM}={90}^o$

Xét tứ giác ADME có:

$\widehat{DAE}=\widehat{ADM}=\widehat{AEM}={90}^o$

Vậy tứ giác ADME là hình chữ nhật (theo dấu hiệu nhận biết).

Ví dụ 2:

Lời giải:

Ta có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G nên G là trọng tâm tam giác ABC.

Theo tính chất trọng tâm tam giác ta có:

$\begin{array}{l}BG=2GM\\ CG=2GN\end{array}$(1)

Lại có: G đối xứng với với D qua M$\Rightarrow$GM = MD$\Rightarrow$GD = 2GM (2)

G đối xứng với E qua N$\Rightarrow$GN = EN$\Rightarrow$GE = 2GN (3)

Từ (1); (2); (3)$\Rightarrow \begin{array}{l}BG=GD\\ CG=GE\end{array}$$\Rightarrow$G là trung điểm của BD; G là trung điểm CE

Xét tứ giác BCDE có:

G là trung điểm của đường chéo BD

G là trung điểm đường chéo CE

Do đó: tứ giác BCDE là hình bình hành

Lại có:

$\Delta ABC$ cân tại A nên AB = AC. Mà M là trung điểm của AC, N là trung điểm AB nên BN = CM

Xét tam giác BNC và tam giác CMB có:

BC chung

BN = CM

$\widehat{NBC}=\widehat{MCB}$ (do tam giác ABC cân tại A)

Do đó: $\Delta BNC=\Delta CMB$ (c – g –c)

$\Rightarrow$CN = BM (hai cạnh tương ứng)

Mà $\begin{array}{l}CN=\frac{3}{4}EC\\ BM=\frac{3}{4}BD\end{array}$

Do đó EC = BD.

Xét hình bình hành BCDE có hai đường chép EC và BD bằng nhau

$\Rightarrow$Hình bình hành BCDE là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết).

Dạng 2: Vận dụng tính chất của hình chữ nhật để chứng minh các tính chất hình học

Phương pháp giải:

Ví dụ:

Lời giải:

Vì E là trung điểm của BC, H là trung điểm của AC nên EH là đường trung bình của $∆ABC$$\Rightarrow$EH // AB (*) và $EH=\frac{1}{2}AB$ (tính chất đường trung bình của tam giác) (1)

Tương tự ta chứng minh được GF là đường trung bình của $∆ABC\Rightarrow$GF // AB và $GF=\frac{1}{2}AB$ (tính chất đường trung bình của tam giác) (2)

Từ (1) và (2)$\Rightarrow$HE // GF; HE = GF$\Rightarrow$GHEF là hình bình hành (theo dấu hiệu nhận biết) (**)

Mặt khác ta cũng chứng minh được EF là đường trung bình của$∆BCD\Rightarrow$EF // CD (3)

Kết hợp với $AB\perp CD$ (gt) (4)

Kết hợp (*), (3) và (4)$\Rightarrow HE\perp EF$$\Rightarrow \widehat{HEF}={90}^o$(***)

Từ (**) và (***) ta có EFGH là hình chữ nhật (theo dấu hiệu nhận biết). Từ đó suy ra hai đường chéo EG = FH (tính chất của hình chữ nhật).

Dạng 3: Sử dụng định lý thuận và đảo của đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông

Phương pháp giải:

Ví dụ 1:

Lời giải:

Ví dụ 2:

Lời giải:

Ví dụ 3:

Lời giải:

Gọi N là trung điểm của EF

$\Rightarrow$NE = NF, mà AE = DF (gt)

$\Rightarrow$AE + NE = DF + NF

$\Rightarrow$AN = DN

$\Rightarrow$N là trung điểm của AD

Gọi M là trung điểm của BC

Khi đó: MN là đường trung bình của hình thang ABCD

$\Rightarrow$MN // AB.

Mặt khác $AB\perp AD$ (do hình thang ABCD vuông tại A và D)

Nên $MN\perp AD$$\Rightarrow$$MN\perp EF$

Xét $\Delta MEF$ có:

MN là đường cao,

MN là đường trung tuyến (do N là trung điểm của EF)

$\Rightarrow \Delta MEF$ cân tại M nên ME = MF (1)

Lại có:

$\Delta BFC$ vuông tại F

M là trung điểm của BC

Nên MF = MB = MC (tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông) (2)

Từ (1) và (2)$\Rightarrow$ME = MB = MC.

$\Rightarrow ∆$BEC vuông tại E (định lý đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)

$\Rightarrow \widehat{BEC}={90}^o$(đpcm).

Dạng 4. Tìm điều kiện để tứ giác là hình chữ nhật

Phương pháp giải:

Ví dụ:

a) Chứng minh EFGH là hình bình hành.

b) Tìm điều kiện của tứ giác ABCD để EFGH là hình chữ nhật.

Lời giải:

a) Ta có:

E là trung điểm của AB, H là trung điểm của AD nên HE là đường trung bình của $∆ABC$$\Rightarrow$HE // BD; $HE=\frac{1}{2}BD$(1)

F là trung điểm BC, G là trung điểm của DC nên FG là đường trung bình của $∆BCD$ nên:

FG // BD; $FG=\frac{1}{2}BD$(2)

Từ (1) và (2)

$\Rightarrow \begin{array}{l}HE//FG\\ HE=FG\end{array}$

Xét tứ giác EFGH ta có $\begin{array}{l}HE//FG\\ HE=FG\end{array}$

Do đó: EFGH là hình bình hành (theo dấu hiệu nhận biết)

b) Giả sử EFGH là hình chữ nhật$\Rightarrow \widehat{HEF}={90}^o$$\iff HE\perp EF$(3)

Ta có:

E là trung điểm của AB,

F là trung điểm của BC

Do đó: EF là đường trung bình của $\Delta ABC$

$\Rightarrow$EF //AC (tính chất đường trung bình của tam giác) (4)

Mà HE // BD (chứng minh a) (5)

Từ (3), (4), (5)$\Rightarrow BD\perp AC$

$\Rightarrow$Tứ giác ABCD có 2 đường chéo vuông góc.

Tứ giác ABCD cần có thêm điều kiện hai đường chéo vuông góc thì EFGH là hình chữ nhật.

III. Bài tập tự luyện

Bài 1.

Bài 2.

Bài 3.

a) Tứ giác AHCE là hình chữ nhật;

b) HG = GK = KE.

Bài 4.

a) Tứ giác ADME là hình gì? Tại sao?

b) Chứng minh AM = DE;

c) Chứng minh khi điểm M thay đổi trên cạnh BC thì chu vi tứ giác ADME không thay đổi;

d) Xác định vị trí điểm M trên cạnh BC để DE có độ dài nhỏ nhất.

Bài 5.

a) Tứ giác AHFK là hình chữ nhật;

b) AF // BD;

c) Ba điểm E, H, K thẳng hàng.

Bài 6.

a) Ba điểm D, A, E thẳng hàng;

b) Tứ giác IAKM là hình chữ nhật;

c) Tam giác DME là tam giác vuông cân.

Bài 7.

Bài 8.

Bài 9.

Bài 10.

a) Tính số đo góc IHK;

b) Chứng minh chu vi tam giác IHK bằng nửa chu vi tam giác ABC.

Bài 11.

Bài 12.

a) Tứ giác AMBQ là hình gì?

b) Chứng minh $CH\perp AB$

c) Chứng minh tam giác PIQ cân.

Bài 13.

a) Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành;

b) Xác định vị trí của điểm O để tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.

Bài 14.

a) Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q thẳng hàng;

b) Chứng minh tứ giác ABPN là hình thang cân;

c) Tìm một hệ thức liên hệ giữa AB và CD để ABPN là hình chữ nhật.