50 bài tập về hình vuông (có đáp án 2024) – Toán 8

Các dạng toán về Hình vuông và cách giải - Toán lớp 8

I. Kiến thức cần nhớ

1. Định nghĩa: Hình vuông là tứ giác có bốn góc vuông và bốn cạnh bằng nhau.

Tứ giác ABCD là hình vuông

$\iff \begin{array}{l}\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}=\widehat{D}={90}^o\\ AB=BC=CD=DA\end{array}$

Nhận xét:

a) Hình vuông là một hình chữ nhật có 4 cạnh bằng nhau.

b) Hình vuông là hình thoi có 4 góc bằng nhau.

Như vậy hình vuông vừa là hình chữ nhật, vừa là hình thoi.

2. Tính chất

Hình vuông có tất cả các tính chất của hình chữ nhật và hình thoi.

3. Dấu hiệu nhận biết

a) Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông.

b) Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình vuông.

c) Hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình vuông.

d) Hình thoi có một góc vuông là hình vuông.

e) Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông.

II. Các dạng toán và phương pháp giải

Dạng 1: Chứng minh tứ giác là hình vuông

Phương pháp giải:

Ví dụ:

Lời giải:

Vì ABCD là hình vuông nên AB = BC = CD = DA và $\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}=\widehat{D}=90°$

Ta có:

$\begin{array}{l}AB=AE+EB\\ BC=BF+CF\\ CD=CG+DG\\ AD=DH+AH\end{array}$mà AB = BC = CD = DA và AE = BF = CG = DH

Nên EB = CF = DG = AH

Xét tam giác AHE và tam giác BEF có

$\widehat{A}=\widehat{B}=90°$

AH = BE (chứng minh trên)

AE = BF (giả thuyết)

Do đó: $\Delta AHE=\Delta BE\text{}F$ (c – g – c)

$\Rightarrow$HE = EF (hai cạnh tương ứng) (1); $\widehat{AEH}=\widehat{E\text{}FB}$ (hai góc tương ứng)

Xét tam giác CFG và tam giác DGH có

$\widehat{C}=\widehat{D}=90°$

CF = DG (chứng minh trên)

CG = DH (giả thiết)

Do đó: $\Delta CFG=\Delta DGH$ (c – g – c)

$\Rightarrow$FG = GH (hai cạnh tương ứng) (2)

Xét tam giác CFG và tam giác AHE có

$\widehat{C}=\widehat{A}=90°$

CF = AH(chứng minh trên)

CG = AE (giả thiết)

Do đó: $\Delta CFG=\Delta AHE$ (c – g – c)

$\Rightarrow$FG = HE (hai cạnh tương ứng) (3)

Xét tứ giác EFGH ta có:

FG = HE = GH = EF (theo (1), (2), (3))

Nên tứ giác EFGH là hình thoi

Lại có:

$\widehat{FEB}+\widehat{E\text{}FB}=90°$ (do tam giác vuông)

Mà $\widehat{AEH}=\widehat{E\text{}FB}$ (chứng minh trên)

Nên $\widehat{AEH}+\widehat{FEB}=90°$

Mặt khác:

$\widehat{AEH}+\widehat{HE\text{}F}+\widehat{FEB}=180°$

$\Rightarrow \widehat{HE\text{}F}=90°$

Mà hình thoi EFGH có một góc vuông nên hình thoi EFGH là hình vuông.

Dạng 2: Vận dụng tính chất của hình vuông để chứng minh các tính chất hình học

Phương pháp giải:

Ví dụ:

a) Hai tam giác ADF và BAE bằng nhau;

b) BE vuông góc với AF.

Lời giải:

a) Vì ABCD là hình vuông nên AB = AD và $\widehat{D}=\widehat{EAB}=90°$

Xét hai tam giác ADF và BAE ta có:

AD = AB

$\widehat{D}=\widehat{EAB}=90°$

AE = DF ( giả thiết)

Do đó: $\Delta ADF=\Delta BAE$ (c – g – c)

b) Gọi giao điểm của BE và AF là G.

Ta có:

$\widehat{DFA}+\widehat{DA\text{}F}=90°$

Mà $\widehat{DFA}=\widehat{AEB}$ (hai góc tương ứng của hai tam giác bằng nhau $\Delta ADF=\Delta BAE$)

Nên $\widehat{AEB}+\widehat{DA\text{}F}=90°$ hay $\widehat{AEG}+\widehat{EAG}=90°$

Mà theo định lý tổng ba góc trong tam giác AEG ta có:

$\begin{array}{l}\widehat{AGE}+\widehat{AEG}+\widehat{EAG}=180°\\ \Rightarrow \widehat{AGE}+90°=180°\\ \Rightarrow \widehat{AGE}=90°\end{array}$

$\Rightarrow BE\perp AF$ tại G.

Dạng 3: Tìm điều kiện để tứ giác là hình vuông

Phương pháp giải: Vận dụng định nghĩa và các tính chất và dấu hiệu nhận biết của hình vuông.

Ví dụ:

a) Tứ giác AFME là hình gì?

b) Xác định vị trí điểm M trên cạnh BC để tứ giác AFME là hình vuông.

Lời giải

a) Ta có tam giác ABC vuông tại A nên

Vì MF // AB nên $MF\perp AC$$\Rightarrow \widehat{A\text{}FM}=90°$

Vì ME // AC nên $ME\perp AB$$\Rightarrow \widehat{AEM}=90°$

Xét tứ giác AFME có:

$\begin{array}{l}\widehat{A\text{}FM}=90°\\ \widehat{AEM}=90°\\ \widehat{A}=90°\end{array}$

Do đó tứ giác AFME là hình chữ nhật.

b) Để tứ giác AFME là hình vuông thì MF = ME (hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau).

Ta có: $\widehat{B}=\widehat{C}$ (do tam giác ABC cân tại A)

Mà $\widehat{B}+\widehat{EMB}=90°$ (tam giác MEB vuông tại E); $\widehat{C}+\widehat{FMC}=90°$ (tam giác FMC vuông tại F)

Suy ra $\widehat{EMB}=\widehat{FMC}$

Xét tam giác MFC và tam giác MEB có

$\widehat{MFC}=\widehat{MEB}=90°$

MF = ME (giả thuyết hình vuông)

$\widehat{EMB}=\widehat{FMC}$ (cmt)

Do đó: $\Delta MFC=\Delta MEB$ (cạnh góc vuông và góc nhọn kề nó)

$\Rightarrow$ MB = MC (hai cạnh tương ứng) hay M là trung điểm của BC.

Vậy để AFME là hình vuông khi M là trung điểm của BC.

III. Bài tập tự luyên

Bài 1:

a) Chứng minh tam giác EDF vuông cân.

b) Gọi I là trung điểm của EF. Chứng minh BI = DI.

c) Chứng minh A, C, I thẳng hàng.

Bài 2:

a) Hình chữ nhật;

b) Hình thoi;

c) Hình vuông.

Bài 3:

a) $\Delta ABK=\Delta AHK$

b) $\widehat{IAK}=45°$

Bài 4:

a) Chứng minh AE vuông góc với BC.

b) Gọi H là giao điểm của AE và BC. Chứng minh ba điểm D, H, F thẳng hàng.

c) Chứng minh đường thẳng DF luôn đi qua một điểm cố định khi M di chuyển trên đoạn thẳng cố định AB.

Bài 5:

a) Chứng minh: $\widehat{DBH}+\widehat{ABC}=180°$;

b) Vẽ hình bình hành DBHN. Chứng minh $\Delta ABC=\Delta NHB$;

c) Chứng minh: DH = 2BM;

d) Chứng minh BM vuông góc với DH.

Bài 6:

a) OB = FG và OB vuông góc với FG;

b) Các đường thẳng BO, AG, CF đồng quy.

Bài 7:

a) Chứng minh rằng BI vuông góc với AK;

b) Gọi E là giao điểm của BI và AK. Chứng minh rằng CE = AB.

Bài 8:

a) Số đo $\widehat{KAN}$;

b) Chu vi tam giác MCN theo a.

Bài 9:

a) Chứng minh: $\widehat{MAN}=45°$

b) Gọi P và Q là giao điểm của BD với các đoạn thẳng AM, AN. Chứng minh các đoạn thẳng BP, PQ, QD lập thành ba cạnh của một tam giác vuông.

Bài 10: