50 bài tập về diện tích đa giác (có đáp án 2024) – Toán 8

Diện tích đa giác và cách giải bài tập - Toán lớp 8

I. Lý thuyết

Để tính diện tích đa giác, ta thường chia đa giác đó thành tam giác, các tứ giác tính được diện tích rồi tính tổng các diện tích đó; hoặc tạo ra một đa giác nào đó có chứa đa giác đó rồi tính hiệu các diện tích.

II. Dạng bài tập

Dạng: Tính diện tích của một đa giác

Phương pháp giải:

Bước 1: Chia đa giác đó thành các tam giác, tứ giác tính được diện tích theo công thức hoặc tạo ra một đa giác mới chứa đa giác đó.

Bước 2: Tính diện tích các đa giác đã chia hoặc đa giác đã được tạo ra.

Bước 3: Tính diện tích đa giác cần tìm bằng cách sử dụng tổng hoặc hiệu các đa giác vừa tính được

Ví dụ 1: Tính diện tích đa giác ABCDE trong hình vẽ (mỗi ô vuông nhỏ cạnh bằng 1cm).

Lời giải:

Diện tích hình chữ nhật MNPQ là:$S_{MNPQ}=MN.NP=6.4=24c{m}^2$

Diện tích tam giác AMB là:$S_{AMB}=\frac{1}{2}AM.MB=\frac{1}{2}\mathrm{.2.4}=4c{m}^2$

Diện tích tam giác BNC là:$S_{BNC}=\frac{1}{2}.BN.NC=\frac{1}{2}\mathrm{.2.2}=2c{m}^2$

Diện tích tam giác CPD là:$S_{CPD}=\frac{1}{2}CP.CD=\frac{1}{2}\mathrm{.2.3}=3c{m}^2$

Diện tích tam giác EQA là:$S_{EQA}=\frac{1}{2}.EQ.QA=\frac{1}{2}\mathrm{.1.2}=1c{m}^2$

Ta có: $S_{MNPQ}=S_{AMB}+S_{BNC}+S_{CPD}+S_{EQA}+S_{ABCDE}$

$\iff 24=4+2+3+1+S_{ABCDE}$

$\iff 24=10+S_{ABCDE}$

$\Rightarrow S_{ABCDE}=24-10=14c{m}^2$.

Ví dụ 2: Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi M, N, P, Q là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA.

a) Tứ giác MNPQ là hình gì?

b) Cho diện tích hình chữ nhật ABCD là S (đơn vị diện tích). Tính diện tích tứ giác MNPQ theo S.

Lời giải:

a) Vì M là trung điểm của AB, N là trung điểm của BC nên MN là đường trung bình của tam giác ABC.

$\Rightarrow MN=\frac{1}{2}AC$(tính chất) (1)

Vì N là trung điểm của BC, P là trung điểm của CD nên NP là đường trung bình của tam giác BCD.

$\Rightarrow NP=\frac{1}{2}BD$(tính chất) (2)

Vì P là trung điểm của DC, Q là trung điểm của AD nên PQ là đường trung bình của tam giác ACD.

$\Rightarrow PQ=\frac{1}{2}AC$(tính chất) (3)

Vì Q là trung điểm của AD, M là trung điểm của AB nên QM là đường trung bình của tam giác ABD.

$\Rightarrow QM=\frac{1}{2}BD$(tính chất) (4)

Mà AC = BD (tính chất hai đường chéo của hình chữ nhật) (5)

Từ (1); (2); (3); (4); (5) $\Rightarrow MN=NP=PQ=QM=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}BD$

Xét tứ giác MNPQ có:

$MN=NP=PQ=QM$(chứng minh trên)

$\Rightarrow$Tứ giác MNPQ là hình thoi.

b) Vì N là trung điểm của BC, Q là trung điểm của AD nên NQ = AB (do hình chữ nhật cũng là hình thang)

Vì M là trung điểm AB, P là trung điểm của CD nên MP = BC (do hình chữ nhật cũng là hình thang)

Diện tích hình thoi MNPQ là:

$S_{MNPQ}=\frac{1}{2}NQ.MP=\frac{1}{2}AB.BC=\frac{1}{2}{S}_{ABCD}=\frac{1}{2}S$(đơn vị diện tích)

Ví dụ 3: Cho tứ giác ABCD có diện tích $60c{m}^2$. Trên cạnh AB lấy các điểm E, F sao cho AE = EF = FB. Trên cạnh CD lấy các điểm G, H sao cho CG = GH = HD.

a) Tính tổng diện tích tam giác ADH và CBF.

b) Tính diện tích tứ giác EFGH.

Lời giải:

a) Ta có: $S_{ABCD}=S_{ABC}+S_{ACD}=60c{m}^2$

Vì AE = EF = FB$\Rightarrow BF=\frac{1}{3}AB$

Xét tam giác BCF và tam giác BCA có:

Chung đường cao hạ từ đỉnh C xuống AB

$BF=\frac{1}{3}AB$

Do đó: $S_{BCF}=\frac{1}{3}{S}_{ABC}$

Vì DH = HG = GC$\Rightarrow DH=\frac{1}{3}DC$

Xét tam giác ADH và tam giác ADC có

Chung đường cao hạ từ đỉnh A xuống DC

$DH=\frac{1}{3}DC$

Do đó: $S_{ADH}=\frac{1}{3}{S}_{ADC}$

Ta có:

$S_{BCF}+S_{ADH}=\frac{1}{3}{S}_{ABC}+\frac{1}{3}{S}_{ADC}=\frac{1}{3}\left(S_{ABC}+S_{ADC}\right)$

$S_{BCF}+S_{ADH}=\frac{1}{3}{S}_{ABCD}=\frac{1}{3}.60=20c{m}^2$

b) Ta có:

$S_{ABCD}=S_{BCF}+S_{ADH}+S_{A\text{}FCH}$

$\iff 60=20+S_{AFCH}$

$\Rightarrow S_{A\text{}FCH}=40c{m}^2$

$S_{A\text{}FCH}=S_{AEH}+S_{HEF}+S_{HFG}+S_{GFC}$ (1)

Xét tam giác AEH và tam giác HEF có

AE = EF

Chung đường cao hạ từ H xuống AF

Do đó $S_{AEH}=S_{HEF}$ (2)

Xét tam giác HFG và tam giác GFC có:

HG = GC

Chung đường cao hạn từ F xuống HC

Do đó $S_{HFG}=S_{GFC}$ (3)

Thay (2); (3) vào (1) ta có:

$S_{A\text{}FCH}=S_{HE\text{}F}+S_{HE\text{}F}+S_{HFG}+S_{HFG}$

$\iff S_{A\text{}FCH}=2S_{HE\text{}F}+2S_{HFG}$

$\iff S_{A\text{}FCH}=2\left(S_{HE\text{}F}+S_{HFG}\right)$

$\iff S_{A\text{}FCH}=2S_{E\text{}FGH}$

$\Rightarrow S_{E\text{}FGH}=40:2=20c{m}^2$

III. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho hình bình hành ABCD có CD = 4cm, đường cao vẽ từ A đến cạnh CD bằng 3cm.

a) Tính diện tích hình bình hành ABCD.

b) Gọi M là trung điểm của AB. Tính diện tích tam giác ADM.

c) DM cắt AC tại N. Chứng minh DN = 2MN.

d) Tính diện tích tam giác AMN.

Bài 2: Cho tam giác ABC có diện tích $30c{m}^2$ . Các điểm D, E theo thứ tự lấy trên cạnh AC, AB sao cho AD = DC; $AE=\frac{1}{2}EB$ . Gọi K là giao điểm của BD và CE. Tính diện tích tứ giác ADKE.

Bài 3: Tính diện tích tứ giác ABCD biết $\widehat{C}=60°$, CA là tia phân giác của góc $\widehat{C}$ và CA = 4cm, CB = 3cm, CD = 5cm.

Bài 4: Cho tứ giác ABCD, gọi E là trung điểm của AB, gọi F là trung điểm của CD, gọi I là giao điểm của AF và DE, K là giao điểm của BF và CE. Chứng minh:

a)$S_{EDC}=S_{ADF}+S_{BCF}$

b)$S_{EIFK}=S_{AID}+S_{BKC}$

Bài 5: Cho tứ giác ABCD. Hãy dựng tam giác ABE $\left(E\in AD\right)$ có diện tích bằng diện tích tứ giác ABCD.

Bài 6: Cho tứ giác ABCD có diện tích là S. M là trung điểm của AC. Chứng minh: $S_{ABMD}=\frac{1}{2}S$ .

Bài 7: Cho tam giác ABC cân tại A, có diện tích S. Gọi O là trung điểm của đường cao AH. Gọi D là giao điểm của BO với cạnh AC và E là giao điểm của CO với cạnh AB. Tính diện tích tứ giác ADOE theo S.

Bài 8: Cho tam giác ABC, điểm D thuộc cạnh AC (AD < DC). Hãy kẻ đường thẳng đi qua D và chia tam giác ABC thành hai phần có diện tích bằng nhau.

Bài 9: Cho tứ giác ABCD. Hãy kẻ đường thẳng đi qua A và chia tứ giác ABCD thành hai phần có diện tích bằng nhau.

Bài 10: Cho G là trọng tâm tam giác ABC. Gọi M là giao điểm của BG và AC. Chứng minh:

a)$S_{GBC}=\frac{2}{3}{S}_{MBC}$

b)$S_{GBC}=S_{GAC}=S_{GAB}$