Anonymous

50 bài tập về rút gọn biểu thức hữu tỉ (có đáp án 2024) – Toán 8

- asked 2 months agoVotes

0Answers

0Views

Rút gọn biểu thức hữu tỉ và cách giải bài tập - Toán lớp 8

I. Lý thuyết

- Biểu thức hữu tỉ là một phân thức hoặc nhiều phân thức được nối với nhau bởi các phép toán cộng, trừ, nhân, chia trên phân thức.

- Biến đổi biểu thức hữu tỉ là bằng các phép toán cộng, trừ, nhân, chia ta đưa các biểu thức hữu tỉ về phân thức.

II. Dạng bài tập

Dạng 1: Tìm điều kiện xác định của biểu thức hữu tỉ

Phương pháp giải: Ta tìm điều kiện để tất cả các mẫu thức khác 0

Ví dụ: Tìm x để các biểu thức hữu tỉ sau xác định.

a) $A = \frac{x^{2}}{x - 8} . (\frac{x^{2} + 64}{x} - 16) + 19$

b) $B = (\frac{x^{2} + 1}{8} + \frac{x}{4}) . (\frac{2}{x - 1} - \frac{2}{x + 1})$

c) $C = (\frac{x^{2} + x}{x^{2} - 5 x + 6} + \frac{1}{x - 3}) : \frac{1}{x - 1}$

Lời giải:

a) Biểu thức A xác định $\Leftrightarrow \begin{array}{l} x - 8 \neq 0 \\ x \neq 0 \end{array}$ $\Leftrightarrow \begin{array}{l} x \neq 8 \\ x \neq 0 \end{array}$

Vậy $x \neq 0$ và $x \neq 8$ thì biểu thức A xác định.

b) Biểu thức B xác định $\Leftrightarrow \begin{array}{l} x - 1 \neq 0 \\ x + 1 \neq 0 \end{array}$ $\Leftrightarrow \begin{array}{l} x \neq 1 \\ x \neq - 1 \end{array} \Rightarrow x \neq \pm 1$

Vậy $x \neq \pm 1$ thì biểu thức B xác định.

c) Biểu thức C xác định $\Leftrightarrow \begin{array}{l} x^{2} - 5 x + 6 \neq 0 \\ x - 3 \neq 0 \\ x - 1 \neq 0 \end{array}$

$\Leftrightarrow \begin{array}{l} (x - 3) (x - 2) \neq 0 \\ x \neq 3 \\ x \neq 1 \end{array}$ $\Leftrightarrow \begin{array}{l} x \neq 2 \\ x \neq 3 \\ x \neq 1 \end{array}$

Vậy $x \neq 2$ ; $x \neq 1$ ; $x \neq 3$ thì biểu thức C xác định.

Dạng 2: Biến đổi biểu thức hữu tỉ thành phân thức

Phương pháp giải: Thực hiện theo hai bước

Bước 1: Sử dụng các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia phân thức đã học để biến đổi

Bước 2: Biến đổi cho tới khi được một phân thức mới có dạng $\frac{A}{B}$

Ví dụ: Biến đổi các biểu thức sau thành phân thức:

a) $A = \frac{2 + \frac{1}{x}}{2 - \frac{1}{x}}$ với $x \neq 0; x \neq \frac{1}{2}$

b) $B = \frac{x - 8 + \frac{12}{x}}{x - 7 + \frac{6}{x}}$ với $x \neq 0; x \neq 1; x \neq 6$ .

Lời giải:

a) $A = \frac{2 + \frac{1}{x}}{2 - \frac{1}{x}}$

$\Leftrightarrow A = \frac{\frac{2 x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{2 x}{x} - \frac{1}{x}}$

$\Leftrightarrow A = \frac{\frac{2 x + 1}{x}}{\frac{2 x - 1}{x}}$

$\Leftrightarrow A = \frac{2 x + 1}{x} : \frac{2 x - 1}{x}$

$\Leftrightarrow A = \frac{2 x + 1}{x} . \frac{x}{2 x - 1}$

$\Leftrightarrow A = \frac{(2 x + 1) x}{x (2 x - 1)} = \frac{2 x + 1}{2 x - 1}$

Vậy $A = \frac{2 x + 1}{2 x - 1}$ với $x \neq 0; x \neq \frac{1}{2}$ .

b) $B = \frac{x - 8 + \frac{12}{x}}{x - 7 + \frac{6}{x}}$

$\Leftrightarrow B = \frac{\frac{x^{2}}{x} - \frac{8 x}{x} + \frac{12}{x}}{\frac{x^{2}}{x} - \frac{7 x}{x} + \frac{6}{x}}$

$\Leftrightarrow B = \frac{\frac{x^{2} - 8 x + 12}{x}}{\frac{x^{2} - 7 x + 6}{x}}$

$\Leftrightarrow B = \frac{x^{2} - 8 x + 12}{x} : \frac{x^{2} - 7 x + 6}{x}$

$\Leftrightarrow B = \frac{x^{2} - 8 x + 12}{x} . \frac{x}{x^{2} - 7 x + 6}$

$\Leftrightarrow B = \frac{(x - 2) (x - 6)}{x} . \frac{x}{(x - 6) (x - 1)}$

$\Leftrightarrow B = \frac{(x - 2) (x - 6) x}{x (x - 6) (x - 1)}$

$\Leftrightarrow B = \frac{x - 2}{x - 1}$ với $x \neq 0; x \neq 1; x \neq 6$ .

Dạng 3: Thực hiện phép tính với các biểu thức hữu tỉ

Phương pháp giải: Sử dụng kết hợp các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia các phân thức đại số đã học để biến đổi.

Ví dụ 1: Thực hiện phép tính

$B = (4 x^{2} - 1) (\frac{1}{2 x - 1} - \frac{1}{2 x + 1} - 1)$ với $x \neq \pm \frac{1}{2}$ .

Lời giải:

$B = (4 x^{2} - 1) (\frac{1}{2 x - 1} - \frac{1}{2 x + 1} - 1)$

$\Leftrightarrow B = (4 x^{2} - 1) (\frac{2 x + 1}{(2 x - 1) (2 x + 1)} - \frac{2 x - 1}{(2 x - 1) (2 x + 1)} - \frac{(2 x - 1) (2 x + 1)}{(2 x - 1) (2 x + 1)})$

$\Leftrightarrow B = (4 x^{2} - 1) (\frac{(2 x + 1) - (2 x - 1) - (2 x - 1) (2 x + 1)}{(2 x - 1) (2 x + 1)})$

$\Leftrightarrow B = (4 x^{2} - 1) (\frac{2 x + 1 - 2 x + 1 - 4 x^{2} + 1}{(2 x - 1) (2 x + 1)})$

$\Leftrightarrow B = (4 x^{2} - 1) (\frac{- 4 x^{2} + 3}{4 x^{2} - 1})$

$\Leftrightarrow B = \frac{(4 x^{2} - 1) (- 4 x^{2} + 3)}{4 x^{2} - 1}$

$\Leftrightarrow B = - 4 x^{2} + 3$ với $x \neq \pm \frac{1}{2}$ .

Ví dụ 2: Cho biểu thức

$P = \frac{x^{2} + 2 x}{2 x + 12} + \frac{x - 6}{x} + \frac{108 - 6 x}{2 x (x + 6)}$

a) Tìm điều kiện xác định của P.

b) Rút gọn P.

c) Tìm x để P = $\frac{3}{2}$ .

Lời giải:

a) P có nghĩa $\Leftrightarrow \begin{array}{l} 2 x + 12 \neq 0 \\ x \neq 0 \\ 2 x (x + 6) \neq 0 \end{array}$

$\Leftrightarrow \begin{array}{l} 2 x \neq - 12 \\ x \neq 0 \\ x \neq 0; x \neq - 6 \end{array}$ $\Leftrightarrow \begin{array}{l} x \neq 0 \\ x \neq - 6 \end{array}$

Vậy để P có nghĩa thì $x \neq 0$ và $x \neq - 6$ .

b) $P = \frac{x^{2} + 2 x}{2 x + 12} + \frac{x - 6}{x} + \frac{108 - 6 x}{2 x (x + 6)}$

$\Leftrightarrow P = \frac{x^{2} + 2 x}{2 (x + 6)} + \frac{x - 6}{x} + \frac{108 - 6 x}{2 x (x + 6)}$

$\Leftrightarrow P = \frac{x (x^{2} + 2 x)}{2 x (x + 6)} + \frac{(x - 6) .2 (x + 6)}{2 x (x + 6)} + \frac{108 - 6 x}{2 x (x + 6)}$

$\Leftrightarrow P = \frac{x^{3} + 2 x^{2}}{2 x (x + 6)} + \frac{2 x^{2} - 72}{2 x (x + 6)} + \frac{108 - 6 x}{2 x (x + 6)}$

$\Leftrightarrow P = \frac{(x^{3} + 2 x^{2}) + (2 x^{2} - 72) + (108 - 6 x)}{2 x (x + 6)}$

$\Leftrightarrow P = \frac{x^{3} + 2 x^{2} + 2 x^{2} - 72 + 108 - 6 x}{2 x (x + 6)}$

$\Leftrightarrow P = \frac{x^{3} + 4 x^{2} - 6 x + 36}{2 x (x + 6)}$

$\Leftrightarrow P = \frac{x^{3} + 216 + 4 x^{2} - 6 x + 36 - 216}{2 x (x + 6)}$

$\Leftrightarrow P = \frac{(x^{3} + 216) + (4 x^{2} - 6 x - 180)}{2 x (x + 6)}$

$\Leftrightarrow P = \frac{(x + 6) (x^{2} - 6 x + 36) + (x + 6) (4 x - 30)}{2 x (x + 6)}$

$\Leftrightarrow P = \frac{(x + 6) (x^{2} - 6 x + 36) + (4 x - 30)]}{2 x (x + 6)}$

$\Leftrightarrow P = \frac{(x + 6) (x^{2} - 6 x + 36 + 4 x - 30)}{2 x (x + 6)}$

$\Leftrightarrow P = \frac{(x + 6) (x^{2} - 2 x + 6)}{2 x (x + 6)}$

$\Leftrightarrow P = \frac{x^{2} - 2 x + 6}{2 x}$ .

c) Để P = $\frac{3}{2}$ $\Rightarrow \frac{x^{2} - 2 x + 6}{2 x} = \frac{3}{2}$

$\Leftrightarrow 2 (x^{2} - 2 x + 6) = 2 x .3$

$\Leftrightarrow 2 x^{2} - 4 x + 12 = 6 x$

$\Leftrightarrow 2 x^{2} - 4 x + 12 - 6 x = 0$

$\Leftrightarrow 2 x^{2} - 10 x + 12 = 0$

$\Leftrightarrow 2 (x^{2} - 5 x + 6) = 0$

$\Leftrightarrow 2 (x^{2} - 2 x - 3 x + 6) = 0$

$\Leftrightarrow 2 x (x - 2) - 3 (x - 2)] = 0$

$\Leftrightarrow 2 (x - 2) (x - 3) = 0$

$\Leftrightarrow \begin{array}{l} x - 2 = 0 \\ x - 3 = 0 \end{array}$

$\Leftrightarrow \begin{array}{l} x = 2 (tm) \\ x = 3 (tm) \end{array}$

Vậy để P = $\frac{3}{2}$ thì $x = 2$ hoặc $x = 3$ .

III. Bài tập vận dụng

Bài 1: Tìm điều kiện xác định của các phân thức sau

a) $\frac{x + 1}{x^{3} - 4 x^{2} + 3 x}$

b) $\frac{x^{2} - 1}{9 x^{2} - 16}$

c) $\frac{x - y}{x^{2} - 4 x y + 4 y^{2}}$

d) $\frac{x + 1}{x^{2} - 6 x + 9}$

Bài 2: Chứng minh các phân thức sau luôn xác định với mọi x,y

a) $\frac{x - 3}{x^{2} - 2 x + 6}$

b) $\frac{x^{3} + 1}{9 x^{2} + 1}$

c) $\frac{x - y}{x^{2} + 2 y^{2} + 1}$

d) $\frac{x - 3 y}{{(x - 1)}^{2} + y^{2} - 2 y + 3}$

Bài 3: Đưa biểu thức sau thành phân thức

a) $A = \frac{1 + \frac{4}{x - 2}}{1 + \frac{2 x}{x^{2} + 2 x + 4}}$ với $x \neq \pm 2$

b) $B = \frac{x}{1 - \frac{x}{x + 3}}$ với $x \neq - 3$

c) $C = \frac{3 x - \frac{1}{9 x^{2}}}{1 + \frac{1}{3 x} + \frac{1}{9 x^{2}}}$ với $x \neq 0$

Bài 4: Thực hiện phép tính

a) $P = \frac{1}{{(x - 2 y)}^{2}} + \frac{2}{x^{2} - 4 y^{2}} + \frac{1}{{(x + 2 y)}^{2}}] . \frac{{(x + 2 y)}^{2}}{16 x}$

b) $Q = (\frac{1}{x^{2} + 8 x + 16} - \frac{1}{x^{2} - 8 x + 16}) : (\frac{1}{x + 4} + \frac{1}{x - 4})$

Bài 5: Cho biểu thức $A = \frac{x^{2} + 2 x}{2 x + 10} + \frac{x - 5}{x} - \frac{5 x - 50}{2 x^{2} + 10 x}$

a) Tìm điều kiện xác định của A.

b) Rút gọn A.

c) Tính giá trị của tại điểm x = 1.

d) Tìm x để A = 0.

Bài 6: Cho biểu thức $B = \frac{{(x + 2)}^{2}}{x} . (1 - \frac{x^{2}}{x + 2}) - \frac{x^{2} + 6 x + 4}{x}$

a) Tìm điều kiện xác định của B.

b) Rút gọn B.

c) Tính B khi x = 5.

Bài 7: Đưa biểu thức sau thành phân thức

a) $P = \frac{1 + x^{2} - \frac{7}{x + 1}}{2 - \frac{7}{x + 1}}$ với $x \neq - 1; x \neq \frac{5}{2}$ .

b) $Q = 1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{3 + \frac{1}{x}}}$ với giả xử mẫu số luôn khác 0.

Bài 8: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến

$M = \frac{{(\frac{x + 1}{x})}^{2}}{\frac{x^{2} + 1}{x^{2}} + \frac{2}{x + 1} (\frac{1}{x} + 1)}$ .

Bài 9: Cho $P = \frac{2 x y}{x^{2} - y^{2}}$ và $Q = \frac{2 x y}{x^{2} + y^{2}}$

Rút gọn biểu thức $A = \frac{P Q}{P^{2} - Q^{2}}$ .

Bài 10: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến

$A = (\frac{x}{x^{2} - 49} - \frac{x - 7}{x^{2} + 7 x}) : \frac{2 x - 7}{x^{2} + 7 x} + \frac{x}{7 - x}$ với $x \neq \pm 7; x \neq 0; x \neq \frac{7}{2}$ .