50 bài tập về công thức diện tích hình thoi (có đáp án 2024) – Toán 8

Công thức diện tích hình thoi hay, chi tiết - Toán lớp 8

I. Lý thuyết

Diện tích hình thoi bằng nửa tích hai đường chéo.

$S=\frac{1}{2}{d}_1.d_2$ trong đó $d_1,d_2$ là độ dài hai đường chéo.

Cho ABCD là hình thoi, hai đường chéo AC và BD có độ dài là $d_1,d_2$ . Khi đó diện tích hình thoi ABCD là:

$S=\frac{1}{2}AC.BD$$=\frac{1}{2}{d}_1.d_2$.

II. Các ví dụ

Ví dụ 1: Tính diện tích hình thoi có cạnh bằng 17cm, tổng hai đường chéo bằng 46cm.

Lời giải:

Giả sử hình thoi cần tính diện tích là ABCD.

Vì tổng độ dài hai đường chéo là 46cm nên ta có:

AC + BD = 46 (1). Giả sử AC < BD.

Vì ABCD là hình thoi nên $AC\perp BD$ (tính chất hai đường chéo cắt nhau của hình thoi).

Gọi O là giao điểm của AC và BD$\Rightarrow \widehat{AOD}=90°$

Vì O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD nên O là trung điểm của AC và BD.

$\Rightarrow \begin{array}{l}AO=\frac{AC}{2}\\ DO=\frac{BD}{2}\end{array}$ (tính chất hai đường chéo cắt nhau của hình thoi).

Xét tam giác AOD vuông tại O ta có:

$A{D}^2=A{O}^2+O{D}^2$

$\iff {17}^2={\left(\frac{AC}{2}\right)}^2+{\left(\frac{BD}{2}\right)}^2$

$\iff 289=\frac{A{C}^2}{4}+\frac{B{D}^2}{4}$ (2)

Từ (1) ta có: AC = 46 – BD thay vào (2) ta có:

$289=\frac{{\left(46-BD\right)}^2}{4}+\frac{B{D}^2}{4}$

$\iff 289=\frac{2116-92BD+B{D}^2}{4}+\frac{B{D}^2}{4}$

$\iff 289=\frac{2116-92BD+2B{D}^2}{4}$

$\iff 289=\frac{2\left(1058-46BD+B{D}^2\right)}{4}$

$\iff 289=\frac{1058-46BD+B{D}^2}{2}$

$\iff 1058-46BD+B{D}^2=289.2$

$\iff 1058-46BD+B{D}^2-578=0$

$\iff B{D}^2-46BD+480=0$

$\iff B{D}^2-30BD-16BD+480=0$

$\iff BD\left(BD-30\right)-16\left(BD-30\right)=0$

$\iff \left(BD-30\right)\left(BD-16\right)=0$

$\iff \begin{array}{l}BD-30=0\\ BD-16=0\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}BD=30cm\\ BD=16cm\end{array}$

Trường hợp 1: Với BD = 30cm $\Rightarrow$ AC = 16cm

Diện tích hình thoi ABCD cần tính là:

S = $\frac{1}{2}AC.BD=\frac{1}{2}\mathrm{.16.30}=240c{m}^2$

Trường hợp 2: Với BD = 16cm AC = 30cm (trái với giải thuyết AC < BD)

Vậy diện tích hình thoi cần tính là $240c{m}^2$.

Ví dụ 2: Cho hình thoi ABCD có BD = 10cm, AC = 6cm. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của AB, BC, CD, DA.

a) Tứ giác EFGH là hình gì? Vì sao?

b) Tính diện tích hình thoi ABCD.

Lời giải:

a) Vì E là trung điểm của AB, F là trung điểm của BC nên EF là đường trung bình của tam giác ABC

$\Rightarrow \begin{array}{l}E\text{}F//AC\\ E\text{}F\text{}=\frac{1}{2}AC\end{array}$(Tính chất đường trung bình trong tam giác) (1)

Vì H là trung điểm của AD, G là trung điểm của CD nên HG là đường trung bình của tam giác ADC

$\Rightarrow \begin{array}{l}HG//AC\\ HG=\frac{1}{2}AC\end{array}$ (tính chất đường trung bình trong tam giác) (2)

Từ (1) và (2)$\Rightarrow \begin{array}{l}HG//E\text{}F\\ HG=E\text{}F\end{array}$

Xét tứ giác EFGH có:

$\begin{array}{l}HG//E\text{}F\\ HG=E\text{}F\end{array}$(chứng minh trên)

$\Rightarrow$Tứ giác EFGH là hình bình hành

Lại có H là trung điểm của AD; E là trung điểm của AB nên HE là đường trung bình của tam giác ABD

$\Rightarrow HE//BD$(tính chất đường trung bình trong tam giác)

Mà $BD\perp AC$ (tính chất hai đường chéo của hình thoi)

Do đó $HE\perp AC$ (quan hệ từ vuông góc đến song song)

Mà AC // EF (theo (1))

Nên $HE\perp E\text{}F$ (quan hệ từ vuông góc đến song song)

$\Rightarrow \widehat{HE\text{}F}=90°$

Xét hình bình hành EFGH có $\widehat{HE\text{}F}=90°$ nên hình bình hành EFGH là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết).

b) Diện tích hình thoi ABCD là:

S =$\frac{1}{2}AC.BD=\frac{1}{2}\mathrm{.6.10}=30c{m}^2$