50 bài tập về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của phân thức (có đáp án 2024) – Toán 8

Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của phân thức và cách giải bài tập - Toán lớp 8

I. Lý thuyết

Cho biểu thức f(x, y,..)

- M là giá trị lớn nhất của biểu thức f(x, y,..) nếu M thỏa mãn hai điều kiện sau

- m là giá trị nhỏ nhất của biểu thức f(x, y,..) nếu m thỏa mãn hai điều kiện sau

Chú ý:

Với hai số a, b cùng dấu a > b $\Rightarrow \frac{1}{a}<\frac{1}{b}$

$a^2+m\ge m$ với mọi m

$a^2+b^2\ge 2ab$ với mọi a, b.

II. Bài tập vận dụng

Dạng 1: Tìm giá trị lớn nhất của phân thức

Phương pháp giải: Cho phân thức $\frac{A\left(x\right)}{B\left(x\right)}$ với $B\left(x\right)\ne 0$

Bước 1: Đánh giá tử thức và mẫu thức để tìm ra giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất ở cả tử và mẫu.

Bước 2: Đánh giá phân thức sao cho $\frac{A\left(x\right)}{B\left(x\right)}\le M$

Bước 3: Dùng giá trị M vừa tìm được để giải ra x thỏa mãn.

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau

a) $A=\frac{3}{x^2+6x+13}$

b) $B=\frac{3x^2-2x+3}{x^2+1}$

Lời giải:

a) Điều kiện xác định:

$x^2+6x+13=x^2+6x+9+4={\left(x+3\right)}^2+4$

Vì ${\left(x+3\right)}^2\ge 0$ nên ${\left(x+3\right)}^2+4\ge 4$

A xác định với mọi x

$A=\frac{3}{x^2+6x+13}$

$\iff A=\frac{3}{x^2+6x+9+4}$

$\iff A=\frac{3}{{\left(x+3\right)}^2+4}$

Ta có:

${\left(x+3\right)}^2\ge 0$

$\Rightarrow {\left(x+3\right)}^2+4\ge 0+4=4$

$\Rightarrow \frac{3}{{\left(x+3\right)}^2+4}\le \frac{3}{4}$

$\Rightarrow A\le \frac{3}{4}$

Dấu “=” xảy ra $\iff x+3=0\Rightarrow x=-3$

Vậy Amax = $\frac{3}{4}$khi x = -3

b) Điều kiện xác định:

Vì $x^2\ge 0$ nên $x^2+1\ge 1$

B xác định với mọi x

$B=\frac{3x^2-2x+3}{x^2+1}$

$\iff B=\frac{4x^2+4-x^2-2x-1}{x^2+1}$

$\iff B=\frac{4\left(x^2+1\right)-\left(x^2+2x+1\right)}{x^2+1}$

$\iff B=\frac{4\left(x^2+1\right)}{x^2+1}-\frac{x^2+2x+1}{x^2+1}$

$\iff B=4-\frac{{\left(x+1\right)}^2}{x^2+1}$

Ta có:

$x^2\ge 0\Rightarrow x^2+1\ge 1>0$và ${\left(x+1\right)}^2\ge 0$

$\Rightarrow \frac{{\left(x+1\right)}^2}{x^2+1}\ge 0$

$B=4-\frac{{\left(x+1\right)}^2}{x^2+1}\le 4-0=4$

Dấu “=” xảy ra khi $x+1=0\Rightarrow x=-1$

Vậy Bmax = 4 khi x = -1

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của $C=\frac{x}{x^2+20x+100}$với $x\ne -10$

Lời giải:

$C=\frac{x}{x^2+20x+100}$

$\iff C=\frac{x}{{\left(x+10\right)}^2}$

Đặt $y=\frac{1}{x+10}\Rightarrow x=\frac{1}{y}-10$ thay vào C ta được

$\Rightarrow C=\frac{\frac{1}{y}-10}{{\left(\frac{1}{y}-10+10\right)}^2}$

$\iff C=\frac{\frac{1-10y}{y}}{\frac{1}{y^2}}$

$\iff C=\frac{1-10y}{y}:\frac{1}{y^2}$

$\iff C=\frac{1-10y}{y}.y^2$

$\iff C=\left(1-10y\right)y=-10y^2+y$

$\iff C=-10\left(y^2-\frac{1}{10}y\right)$

$\iff C=-10\left.y^2-2.y.\frac{1}{20}+{\left(\frac{1}{20}\right)}^2-{\left(\frac{1}{20}\right)}^2\right]$

$\iff C=-10\left.{\left(y-\frac{1}{20}\right)}^2-\frac{1}{400}\right]$

$\iff C=-10{\left(y-\frac{1}{20}\right)}^2+\frac{1}{40}$

Ta có:

${\left(y-\frac{1}{20}\right)}^2\ge 0$ với mọi y thỏa mãn điều kiện

$\Rightarrow -10{\left(y-\frac{1}{20}\right)}^2\le 0$

$\Rightarrow -10{\left(y-\frac{1}{20}\right)}^2+\frac{1}{40}\le 0+\frac{1}{40}=\frac{1}{40}$

$\Rightarrow C\le \frac{1}{40}$

Dấu “=” xảy ra khi $y-\frac{1}{20}$= 0

$\Rightarrow y=\frac{1}{20}\Rightarrow x=\frac{1}{y}-10=\frac{1}{\frac{1}{20}}-10=10$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy Cmax = $\frac{1}{40}$khi x = 10

Dạng 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của phân thức

Phương pháp giải: Cho phân thức $\frac{A\left(x\right)}{B\left(x\right)}$ với$B\left(x\right)\ne 0$

Bước 1: Đánh giá tử thức và mẫu thức để tìm ra giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất ở cả tử và mẫu.

Bước 2: Đánh giá phân thức sao cho $\frac{A\left(x\right)}{B\left(x\right)}\ge m$

Bước 3: Dùng giá trị m vừa tìm được để giải ra x thỏa mãn

Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của phân thức sau: $\text{A=}\frac{4x^2+4x+4}{4{\left(x+1\right)}^2}$

Lời giải:

Điều kiện: $x\ne -1$

$\text{A=}\frac{4x^2+4x+4}{4{\left(x+1\right)}^2}$

$\iff A=\frac{3x^2+6x+3+x^2-2x+1}{4{\left(x+1\right)}^2}$

$\iff A=\frac{3\left(x^2+2x+1\right)+\left(x^2-2x+1\right)}{4{\left(x+1\right)}^2}$

$\iff A=\frac{3{\left(x+1\right)}^2+{\left(x-1\right)}^2}{4{\left(x+1\right)}^2}$

$\iff A=\frac{3{\left(x+1\right)}^2}{4{\left(x+1\right)}^2}+\frac{{\left(x-1\right)}^2}{4{\left(x+1\right)}^2}$

$\iff A=\frac{3}{4}+{\left(\frac{x-1}{2\left(x+1\right)}\right)}^2$

$\iff A=\frac{3}{4}+{\left(\frac{x-1}{2x+2}\right)}^2$

Ta có: ${\left(\frac{x-1}{2x+2}\right)}^2\ge 0$

$\Rightarrow A=\frac{3}{4}+{\left(\frac{x-1}{2x+2}\right)}^2\ge \frac{3}{4}$

$\Rightarrow A\ge \frac{3}{4}$

Dấu “=” xảy ra $\iff {\left(\frac{x-1}{2x+2}\right)}^2=0$

$\Rightarrow \frac{x-1}{2x+2}$ $\iff x-1=0$ $\iff x=1$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy Amin = $\frac{3}{4}$khi x = 1

Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của phân thức

$B=\frac{x^2+y^2}{x^2+2xy+y^2}$ với $x\ne -y;x\ne 0;y\ne 0$.

Lời giải:

$B=\frac{x^2+y^2}{x^2+2xy+y^2}$

$\iff B=\frac{2\left(x^2+y^2\right)}{2\left(x^2+2xy+y^2\right)}$

$\iff B=\frac{2x^2+2y^2}{2{\left(x+y\right)}^2}$

$\iff B=\frac{x^2+2xy+y^2+x^2-2xy+y^2}{2{\left(x+y\right)}^2}$

$\iff B=\frac{{\left(x+y\right)}^2+{\left(x-y\right)}^2}{2{\left(x+y\right)}^2}$

$\iff B=\frac{{\left(x+y\right)}^2}{2{\left(x+y\right)}^2}+\frac{{\left(x-y\right)}^2}{2{\left(x+y\right)}^2}$

$\iff B=\frac{1}{2}+{\left.\frac{x-y}{\sqrt{2}\left(x+y\right)}\right]}^2$

$\iff B=\frac{1}{2}+{\left(\frac{x-y}{\sqrt{2}x+\sqrt{2}y}\right)}^2$

Ta có:

${\left(\frac{x-y}{\sqrt{2}x+\sqrt{2}y}\right)}^2\ge 0$

$\Rightarrow B=\frac{1}{2}+{\left(\frac{x-y}{\sqrt{2}x+\sqrt{2}y}\right)}^2\ge \frac{1}{2}$

Dấu “=” xảy ra $\iff {\left(\frac{x-y}{\sqrt{2}x+\sqrt{2}y}\right)}^2=0$

$\Rightarrow \frac{x-y}{\sqrt{2}x+\sqrt{2}y}=0$

$\iff x-y=0$ $\iff x=y$

Vậy Bmin = $\frac{1}{2}$ khi x = y và x; y thỏa mãn điều kiện.

Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của phân thức

$C=\frac{-6}{x^2+2x+9}$.

Lời giải:

Điều kiện:

$x^2+2x+9=x^2+2x+1+8={\left(x+1\right)}^2+8$

Vì ${\left(x+1\right)}^2\ge 0$ nên ${\left(x+1\right)}^2+8\ge 8$

C xác định với mọi x

$C=\frac{-6}{x^2+2x+9}$

$\iff C=\frac{-6}{x^2+2x+1+8}$

$\iff C=\frac{-6}{{\left(x+1\right)}^2+8}$

Ta có:

${\left(x+1\right)}^2\ge 0$

$\Rightarrow {\left(x+1\right)}^2+8\ge 8$

$\Rightarrow \frac{1}{{\left(x+1\right)}^2+8}\le \frac{1}{8}$

$\Rightarrow \frac{-6}{{\left(x+1\right)}^2+8}\ge \frac{-6}{8}$

$\iff \frac{-6}{{\left(x+1\right)}^2+8}\ge \frac{-3}{4}$

Dấu “=” xảy ra $\iff {\left(x+1\right)}^2=0$

$\Rightarrow x+1=0$ $\iff x=-1$

Vậy Cmin = $\frac{-3}{4}$khi x = -1.

III. Bài tập tự luyện

Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của phân thức sau: $A=\frac{5}{2x^2+3x+10}$.

Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của phân thức: $B=\frac{-3}{x^2+5x+10}$.

Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của phân thức sau: $A=\frac{3x^2-8x+6}{x^2-2x+1}$ với $x\ne 1$.

Bài 4: Tìm gá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của phân thức: $M=\frac{3-4x}{x^2+1}$.

Bài 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $N=\frac{5x^2-4x+4}{x^2}$với $x\ne 0$.

Bài 6: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $E=\frac{3x^2+4x}{x^2+1}$.

Bài 7: Tìm giá trị lớn nhất $P=\frac{2017}{x^2-6x+20}$.

Bài 8: Cho biểu thức $Q=\frac{x^2}{x-8}\left(\frac{x^2+64}{x}-16\right)+19$ với $x\ne 0;x\ne 8$

Tìm giá trị nhỏ nhất của Q.

Bài 9: Cho biểu thức $B=\frac{{\left(x+2\right)}^2}{x}\left(1-\frac{x^2}{x+2}\right)-\frac{x^2+6x+4}{x}$

a) Tìm điều kiện xác định của B.

b) Rút gọn B.

c) Tìm x để B đạt giá trị lớn nhất.

Bài 10: Cho biểu thức $D=\frac{{\left(x+2\right)}^2}{x}.\left(1-\frac{x^2}{x+2}\right)-\frac{x^2+10x+4}{x}$ với $x\ne -2;x\ne 0$

Tìm giá tri lớn nhất của Q.