50 bài tập về hình bình hành (có đáp án 2025) và cách giải

Các dạng toán về Hình bình hành và cách giải

I. Kiến thức cần nhớ

1. Định nghĩa

Hình bình hành là tứ giác có các cặp cạnh đối song song

Tứ giác ABCD là hình bình hành$\iff \begin{array}{l}AB//CD\\ AD//BC\end{array}$

2. Tính chất

Trong hình bình hành

a) Các cạnh đối bằng nhau;

b) Các góc đối bằng nhau;

c) Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

3. Dấu hiệu nhận biết

a) Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành;

b) Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành;

c) Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành;

d) Tứ giác có các góc đối bằng nhau là hình bình hành;

e) Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hình bình hành.

II. Các dạng toán và phương pháp giải

Dạng 1. Vận dụng tính chất của hình bình hành để chứng minh các tính chất hình học

Phương pháp giải:

Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là trung điểm của AD, F là trung điểm của BC. Chứng minh:

a) BE = DF; $\widehat{ABE}=\widehat{CDF}$;

b) BE//DF

Lời giải:

a) Vì E là trung điểm của AD, F là trung điểm của BC

$\Rightarrow \begin{array}{l}AE=DE=\frac{1}{2}AD\\ BF=CF=\frac{1}{2}BC\end{array}$

Mà AD = BC do ABCD là hình bình hành.

Do đó: AE = DE = BF = CF

Lại có do ABCD là hình bình hành:

$\Rightarrow \begin{array}{l}AB=DC\\ \widehat{EAB}=\widehat{DCF}\end{array}$ (tính chất)

Xét tam giác ABE và tam giác CDF có:

$\begin{array}{l}AB=DC\\ \widehat{EAB}=\widehat{DCF}\\ AE=BF\end{array}$

$\Rightarrow \Delta ABE=\Delta CDF$ (c – g – c)

$\Rightarrow$BE = DF (hai cạnh tương ứng) và $\widehat{ABE}=\widehat{CDF}$ (hai góc tương ứng)

b) Xét tứ giác EBFD có:

$\begin{array}{l}BE=DF\\ DE=BF\end{array}$(chứng minh trên)

Nên tứ giác EBFD là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

$\Rightarrow$BE // DF

Dạng 2. Chứng minh tứ giác là hình bình hành

Phương pháp giải: Áp dụng các dấu hiệu nhận biết của hình bình hành

a) Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành;

b) Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành;

c) Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành;

d) Tứ giác có các góc đối bằng nhau là hình bình hành;

e) Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hình bình hành.

Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD, đường chéo BD. Kẻ AH và CK vuông góc với BD lần lượt tại H và tại K. Chứng minh tứ giác AHCK là hình bình hành.

Lời giải:

Vì tứ gác ABCD là hình bình hành:

$\Rightarrow \begin{array}{l}AD=BC\\ AD//BC\end{array}$

Vì AD // BC nên $\widehat{ADH}=\widehat{CBK}$ (hai góc so le trong)

Ta có:

$\begin{array}{l}AH\perp BD\\ CK\perp BD\end{array}$

$\Rightarrow \begin{array}{l}\widehat{AHD}=90°\\ \widehat{CKB}=90°\\ AH//CK\end{array}$

Xét tam giác AHD và tam giác CKB có:

$\begin{array}{l}\widehat{AHD}=\widehat{CKB}=90°\\ \widehat{ADH}=\widehat{CBK}\\ AD=BC\end{array}$

$\Rightarrow \Delta AHD=\Delta CKB$ (cạnh huyền - góc nhọn)

$\Rightarrow$AH = CK (hai cạnh tương ứng)

Xét tứ giác AHCK có:

$\begin{array}{l}AH=CK\\ AH//CK\end{array}$

$\Rightarrow$tứ giác AHCK là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

Dạng 3. Chứng minh ba điểm thẳng hàng, các đường thẳng đồng quy

Phương pháp giải: Vận dụng tính chất về đường chéo của hình bình hành: Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Ví dụ 1.

Lời giải:

Gọi I là trung điểm của LE.

Vì D là trung điểm của AB, L là trung điểm của AO nên LD là đường trung bình của tam giác AOB.

$\Rightarrow \begin{array}{l}LD//OB\\ LD=\frac{1}{2}OB\end{array}$(1)

Vì N là trung điểm của OC, E là trung điểm BC nên NE là đường trung bình của tam giác OBC

$\Rightarrow \begin{array}{l}NE//OB\\ NE=\frac{1}{2}OB\end{array}$(2)

Từ (1) và (2)$\Rightarrow \begin{array}{l}NE//LD\\ NE=LD\end{array}$

Xét tứ giác DENL có:

NE // LD

NE = LD

Nên tứ giác DENL là hình bình hành

$\Rightarrow$Hai đường chéo DN và LE cắt nhau tại trung điểm I của của LE (*)

L là trung điểm của AO, M là trung điểm của OB nên LM là đường trung bình của tam giác OAB

$\Rightarrow \begin{array}{l}LM//AB\\ LM=\frac{1}{2}AB\end{array}$(3)

F là trung điểm của AC, E là trung điểm của BC nên FE là đường trung bình của tam giác ABC

$\Rightarrow \begin{array}{l}FE//AB\\ FE=\frac{1}{2}AB\end{array}$(4)

Từ (3) và (4)$\Rightarrow \begin{array}{l}FE//LM\\ FE=LM\end{array}$

Xét tứ giác LMEF có:

FE // LM

FE = LM

Nên tứ giác LMEF là hình bình hành

$\Rightarrow$Hai đường chéo MF là LE cắt nhau tại trung điểm I của LE (**)

Từ (*) và (**) ta có EL, FM, DN đồng quy (do cùng đi qua trung điểm I của EL)

III. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho hình bình hành ABCD (AB > BC). Tia phân giác của góc D cắt AB tại E, tia phân giác của góc B cắt CD tại F.

a) Chứng minh DE // BF;

b) Tứ giác DEBF là hình gì?

Bài 2.

a) Tam giác AED cân

b) AD là phân giác của góc A.

Bài 3.

a) Các tứ giác MNPQ, INKQ là hình bình hành.

b) Các đường thẳng MP, NQ, IK đồng quy.

Bài 4.

a) Chứng minh tứ giác BDCH là hình bình hành.

b) Tính số đo góc $\widehat{BDC}$, biết $\widehat{BAC}={60}^O$

Bài 5.

a) Tứ giác MNCD là hình gì?

b) Tam giác EMC là tam giác gì?

c) Chứng minh $\widehat{BAD}=2\widehat{AEM}$

Bài 6. Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA.

a) Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành;

b) So sánh chu vi tứ giác MNPQ và tổng hai đường chéo của tứ giác ABCD.

Bài 7.

a) E, F lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC và ACD;

b) EB = EF = DF.

Bài 8.

Chứng minh các tứ giác EQFM, ENFP, MNPQ là hình bình hành.

Bài 9.

a) Tứ giác AMIN là hình bình hành.

b) Tứ giác MNIB là hình bình hành.

c) Tứ giác MNCI là hình bình hành.

d) B và C đối xứng nhau qua I.

Bài 10.

a) Tứ giác AB’CO là hình bình hành.

b) Tứ giác BOCA’ là hình bình hành.

c) Tứ giác AB’A’B là hình bình hành.

Bài 11.

a) Tứ giác ANFM là hình gì? Vì sao?

b) Đường thẳng ME cắt đường thẳng AB tại K. Chứng minh K đối xứng với P qua B.

c) Chứng minh ba điểm C, E, F thẳng hàng.

Bài 12.

a) Chứng minh AEBC và ABFC là các hình bình hành.

b) Các điểm E và F có đối xứng với nhau qua điểm B không? Vì sao?

c) Tìm điều kiện của hình bình hành ABCD để E đối xứng với F qua đường thẳng BD.

Bài 13.

Bài 14. Cho tứ giác ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD. Lấy P, Q lần lượt thuộc cạnh BC, AD (PB$\ne$PC, QA$\ne$QD). Biết tứ giác MPNQ là hình bình hành. Chứng minh BC // AD.

Bài 15.

a) EMFN là hình bình hành;

b) Các đường thẳng AC, BD, EF, GH đồng quy.

Bài 16*.

Bài 17*.

Bài 18*.

a) Tính $\widehat{EAF}$;

b) Chứng minh tam giác CEF là tam giác đều.

Bài 19.

a) IA = BC

b) $IA\perp BC$