Chứng minh rằng: Giao điểm hai đường chéo của hình thoi

Giải Toán 8 Bài 11: Hình thoi

Video Giải Bài 77 trang 106 Toán 8 Tập 1

Bài 77 trang 106 Toán 8 Tập 1: Chứng minh rằng:

a) Giao điểm hai đường chéo của hình thoi là tâm đối xứng của hình thoi.

b) Hai đường chéo của hình thoi là hai trục đối xứng của hình thoi.

Lời giải:

a) Gọi O là giao điểm của hai đường chéo của hình thoi ABCD

Vì ABCD là hình thoi nên ABCD là hình bình hành

Mà tâm đối xứng của hình bình hành là giao điểm của hai đường chéo.

Suy ra O là tâm đối xứng của hình thoi ABCD.

b)

Xét hình thoi ABCD, gọi O là giao điểm của 2 đường chéo.

* Ta chứng minh: đường chéo BD là trục đối xứng của hình

Lấy điểm M bất kì thuộc hình thoi. Không mất tổng quát, M nằm trên CD.

Gọi M’ đối xứng với M qua đường thẳng BD. Ta chứng minh điểm M’ cũng thuộc hình thoi

+ Gọi I là giao điểm của MM’ và BD.

Xét tam giác DIM và DIM’ có:

$\widehat{DIM}=\widehat{DIM\text{'}}=90°$

DI chung

IM= IM’ ( do M và M’ đối xứng với nhau qua BD)

$\Rightarrow$∆DIM = ∆DIM’ ( c.g.c)

$\Rightarrow \widehat{IDM}=\widehat{IDM\text{'}}$ và DM = DM’

Lại có: ABCD là hình thoi nên $\widehat{IDA}=\widehat{IDC}$ (DB là phân giác $\widehat{ADC}$) hay $\widehat{IDA}=\widehat{IDM}$

Mà $\widehat{IDM}=\widehat{IDM\text{'}}$

$\Rightarrow \widehat{IDA}=\widehat{IDM\text{'}}$

Suy ra điểm M’ nằm trên cạnh AD hay điểm M’ thuộc hình thoi

Do đó BD là trục đối xứng của hình thoi.

Chứng minh tương tự, ta có: AC là trục đối xứng của hình thoi.

Vậy hai đường chéo AC, BD là hai trục đối xứng của hình thoi.