Xét tính tăng giảm và bị chặn của các dãy số

Giải Toán 11 Ôn tập chương 3

Video Giải Bài tập 7 trang 107 Toán lớp 11 Đại số

Bài tập 7 trang 107 Toán lớp 11 Đại số:

a) $u_n=n+\frac{1}{n}$

b) $u_n={\left(-1\right)}^{n-1}\sin \frac{1}{n}$

c) $u_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$

Lời giải:

a) Xét hiệu:

$u_{n+1}-u_n=\left(n+1+\frac{1}{n+1}\right)-\left(n+\frac{1}{n}\right)=n+1+\frac{1}{n+1}-n-\frac{1}{n}=1+\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}=\frac{n^2+n+n-n-1}{n(n+1)}=\frac{n^2+n-1}{n(n+1)}>0,\forall n\in N*$

Do $n^2+n-1\ge 1^2+1-1=1>0$ và n(n + 1) > 0 với $\forall n\in \mathbb{N}*$

Vậy u_n là dãy số tăng.

Mặt khác:

 $u_n=n+\frac{1}{n}\ge 2\sqrt{n\cdot \frac{1}{n}}=2,\forall n\in \mathbb{N}*$

Vậy u_n là dãy số bị chặn dưới.

Khi n càng lớn thì u_n càng lớn nên u_n là dãy số không bị chặn trên.

Vậy u_n là dãy số tăng và bị chặn dưới.

b) Ta có: u₁ = (-1)^1-1.sin1 = sin1 > 0

$u_2={(-1)}^{2-1}\cdot \sin \frac{1}{2}=-\sin \frac{1}{2}<0u_3={(-1)}^{3-1}\cdot \sin \frac{1}{3}=\sin \frac{1}{3}>0$

Suy ra u₁ > u₂ và u₂ < u₃

Vậy u_n là dãy số không tăng không giảm.

Ta lại có:

 $\left.u_n\right|=\left.{(-1)}^{n-1}\sin \frac{1}{n}\right|=\left.\sin \frac{1}{n}\right|\le 1\iff -1\le u_n\le 1$

Vậy u_n là dãy số bị chặn.

c) Ta có:

$u_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\frac{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\frac{n+1-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$

Xét hiệu:

$u_{n+1}-u_n=\frac{1}{\sqrt{(n+1)+1}+\sqrt{n+1}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$

Ta có: 

Suy ra u_n+1 – u_n < 0

Vậy u_n là là dãy số giảm.

Mặt khác:   $u_n=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}>0,\forall n\in \mathbb{N}*$

Suy ra u_n là dãy số bị chặn dưới.

Ta lại có: với $n\ge 1$ thì $\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\ge \sqrt{2}+1$

Suy ra $u_n=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\le \frac{1}{\sqrt{2}+1}$

Suy ra u_n là là dãy số bị chặn trên 

Vậy u_n là là dãy số giảm và bị chặn.