13^n - 1 chia hết cho 6

Giải Toán 11 Ôn tập chương 3

Video Giải Bài tập 5 trang 107 Toán lớp 11 Đại số

Bài tập 5 trang 107 Toán lớp 11 Đại số:

a) 13ⁿ  - 1 chia hết cho 6;

b) 3n3 + 15n chia hết cho 9.

Lời giải:

a) Với n = 1, ta có: ${13}^1–1=13–1=12⋮6$

Giả sử: $\left({13}^k-1\right)⋮6$  với mọi $k\ge 1$

Ta chứng minh: $\left({13}^{k+1}-1\right)⋮6$

Thật vậy:

13^k+1 – 1 = 13^k+1 − 13^k + 13^k – 1

= (13^k+1 − 13^k) + (13^k − 1)

= 13^k(13 − 1) + (13^k − 1)

= 12.13^k + 13^k − 1

Vì  $\left({12.13}^k\right)⋮6$ và  $\left({13}^k–1\right)⋮6$ (theo giả thiết quy nạp)

Nên $\left({13}^{k+1}–1\right)⋮6$

Vậy 13ⁿ − 1 chia hết cho 6 với mọi $n\in \mathbb{N}*$ .

b) Với n = 1, ta có: ${3.1}^3+15.1=18⋮9$

Giả sử: $\left(3k^3+15k\right)⋮9,\forall k\ge 1$ .

Ta chứng minh: $\left(3{\left(k+1\right)}^3+15\left(k+1\right)\right)⋮9$

Thật vậy:

3(k + 1)³ + 15(k + 1)

= 3.(k³ + 3k² + 3k + 1) + 15k + 15

= 3k³ + 9k² + 9k + 15k + 18

= (3k³ + 15k) + 9(k² + k + 2)

Vì $\left(3k^3+15k\right)⋮9$  (theo giả thiết quy nạp) và $9\left(k^2+k+2\right)⋮9$

Nên $\left(3{\left(k+1\right)}^3+15\left(k+1\right)\right)⋮9$

Vậy 3n³ + 15n chia hết cho 9 với mọi  $n\in \mathbb{N}*$.