Tính diện tích tam giác ADM

Giải Toán 8 Bài 3: Tính chất đường phân giác của tam giác

Video Giải Bài 21 trang 68 Toán 8 Tập 2

Bài 21 trang 68 Toán 8 Tập 2:

a) Cho tam giác ABC với đường trung tuyến AM và đường phân giác trong AD. Tính diện tích tam giác ADM, biết AB = m, AC = n (n > m) và diện tích tam giác ABC là S.

b) Khi cho n = 7cm, m = 3cm, hỏi rằng diện tích tam giác ADM chiếm bao nhiêu phần trăm diện tích tam giác ABC?

Lời giải:

a) Ta có: $\frac{S_{ABD}}{S_{ABC}}=\frac{BD}{BC}$  (do hai tam giác có chung chiều cao từ đỉnh A)  (1)

ΔABC có AD là phân giác nên:

 $\frac{CD}{BD}=\frac{AC}{AB}$ (tính chất đường phân giác).

Suy ra:

 $\frac{CD}{BD}+\text{\hspace{0.17em}}1=\frac{AC}{AB}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}1$

$\Rightarrow \frac{CD+BD}{BD}=\frac{AC\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}+AB}{AB}\iff \frac{BC}{BD}=\frac{AB+AC}{AB}$

$\iff \frac{BD}{BC}=\frac{AB}{AB+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}AC}$ (2)

Từ (1) (2) suy ra:

$\frac{S_{ABD}}{S_{ABC}}=\frac{AB}{AB+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}AC}$.

Hay $S_{ABD}=\frac{m}{m+n}S$.

Lại có:

 $\frac{S_{ABM}}{S_{ABC}}=\frac{BM}{BC}=\frac{1}{2}\Rightarrow S_{ABM}=\frac{1}{2}{S}_{ABC}$

Do đó, 

$S_{ADM}=S_{ABM}-S_{ABD}=\frac{1}{2}S-\frac{m}{m+\text{\hspace{0.17em}}n}S=\frac{n-m}{2(m+n)}S$

b) Với n = 7; m = 3, thay vào kết quả phần a ta có:

$S_{ADM}=\frac{7-3}{2(7+\text{}3)}S=\frac{4}{20}S=\frac{1}{5}S=20\%.S$

Vậy diện tích tam giác ADM chiếm 20% diện tích tam giác ABC.