Một chiếc diều ABCD có AB = BC, AD = DC

Giải SBT Toán 9 Bài 4: Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

Bài 71 trang 116 SBT Toán lớp 9 Tập 1:

a) Chiều dài cạnh AD

b) Diện tích chiếc diều

Lời giải:

a)

Nối A với C

Kẻ $DH\perp AC$ tại H

Xét tam giác ABC vuông tại B

Áp dụng định lí Py-ta-go ta có:

$A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2={12}^2+{12}^2=288$

$\Rightarrow AC=\sqrt{288}=12\sqrt{2}$ (cm)

Xét tam giác ACD cân tại D

Đường cao DH cũng là đường trung tuyến và đường phân giác

$\Rightarrow HA=HC=\frac{AC}{2}=6\sqrt{2}$ (cm) và

$\widehat{ADH}=\frac{1}{2}\widehat{ADC}=\frac{1}{2}{.40}^o={20}^o$

Xét tam giác ADH vuông tại H

Ta có: $\sin \widehat{ADH}=\frac{AH}{AD}$

$\Rightarrow AD=\frac{AH}{\sin \widehat{ADH}}=\frac{6\sqrt{2}}{\sin {20}^o}\approx 24,809$ (cm)

b)

Diện tích tam giác ABC là:

$S_{ABC}=\frac{1}{2}AB.BC=\frac{1}{2}\mathrm{.12.12}=72\left(c{m}^2\right)$

Xét tam giác ADH vuông tại H

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông ta có:

$DH=AH.\cot \widehat{ADH}=6\sqrt{2}.\cot {20}^o\approx 23,313$ (cm)

Diện tích tam giác ADC là:

$S_{ADC}=\frac{1}{2}.DH.AC=\frac{1}{2}.23,313.12\sqrt{2}=197,817\left(c{m}^2\right)$

Diện tích diều là:

$S_{ABCD}=S_{ABC}+S_{ACD}=72+197,817=269,817\left(c{m}^2\right)$