Cho tam giác nhọn MNP

Giải SBT Toán 9 Bài 4: Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

Bài 4.8 trang 117 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho tam giác nhọn MNP. Gọi D là chân đường cao của tam giác đó kẻ từ M. Chứng minh rằng:

a) $S_{MNP}=\frac{1}{2}MP.NP.\sin P$

b) $DP=\frac{MN.\sin N}{\tan P}$

c) Tam giác DNE đồng dạng với tam giác MNP, trong đó E là chân đường cao của tam giác MNP kẻ từ P.

Lời giải:

a)

Xét tam giác MDP vuông tại D

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông ta có:

$MD=MP.\sin \widehat{MPD}$

$\Rightarrow S_{MNP}=\frac{1}{2}MD.PN=\frac{1}{2}MP.NP.\sin P$ (đcpcm)

b)

Xét tam giác MDN vuông tại D

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông ta có:

$MD=MN.\sin N$ (1)

Xét tam giác MDP vuông tại D

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông ta có:

$MD=DP.\tan P$ (2)

Từ (1) và (2) ta có:

$MN.\sin N=DP.\tan P\Rightarrow DP=\frac{MN.\sin N}{\tan P}\left(đcpcm\right)$ 

c)

Xét tam giác DMN và tam giác EPN

$\widehat{D}=\widehat{E}={90}^o$

$\widehat{N}$chung

Do đó tam giác DMN và tam giác EPN đồng dạng với nhau theo trường hợp góc – góc

$\Rightarrow \frac{DN}{MN}=\frac{EN}{PN}$

Xét tam giác DNE và tam giác MNP

$\widehat{N}$chung

Do đó, tam giác DNE và tam giác MNP đồng dạng với nhau theo trường hợp cạnh – góc - cạnh.