Trên đường tròn lượng giác, xác định điểm M biểu diễn các góc lượng giác có số đo

Giải SBT Toán 11 Bài tập cuối chương 1 trang 25

Bài 1.51 trang 28 SBT Toán 11 Tập 1: Trên đường tròn lượng giác, xác định điểm M biểu diễn các góc lượng giác có số đo sau và tính các giá trị lượng giác của chúng.

a) $\frac{23\pi }{4}$; b) $\frac{31\pi }{6}$; c) – 1 380°.

*Lời giải:

a) Ta có $\frac{23\pi }{4}=6\pi -\frac{\pi }{4}$. Góc $\frac{23\pi }{4}$ được biểu diễn bởi điểm $M\left(\frac{\sqrt{2}}{2};-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ trên đường tròn lượng giác (hình dưới).

Vậy $\sin \frac{23\pi }{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2};\cos \frac{23\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ và $\tan \frac{23\pi }{4}=\cot \frac{23\pi }{4}=-1$.

b) Ta có $\frac{31\pi }{6}=\frac{7\pi }{6}+4\pi$. Góс $\frac{31\pi }{6}$ được biểu diễn bởi điểm $M\left(-\frac{\sqrt{3}}{2};-\frac{1}{2}\right)$> trên đường tròn lượng giác (hình dưới).

Vậy $\sin \frac{31\pi }{6}=-\frac{1}{2};\cos \frac{31\pi }{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$; $\tan \frac{31\pi }{6}=\frac{1}{\sqrt{3}}$ và $\cot \frac{31\pi }{6}=\sqrt{3}$.

c) Ta có – 1 380° = − 4 . 360° + 60°. Góc –1 380° được biểu diễn bởi điểm $M\left(\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ trên đường tròn lượng giác (hình dưới).

Vậy sin(– 1 380°) = $\frac{\sqrt{3}}{2}$; cos(– 1 380°) = $\frac{1}{2}$; tan(– 1 380°) = $\sqrt{3}$ và cot(– 1 380°) = $\frac{1}{\sqrt{3}}$.

*Phương pháp giải

- Sử dụng các góc lượng giác đặc biệt. Biến đổi các giá trị đề bài cho, rồi vẽ trên đường tròn lượng giác

* Lý thuyết cần nắm và một số dạng toán về hàm số lượng giác:

- Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực sinx được gọi là hàm số sin, kí hiệu y = sinx. Tập xác định của hàm số sin là$\mathbb{R}$.

- Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực cosx được gọi là hàm số cos, kí hiệu y = cosx. Tập xác định của hàm số côsin là$\mathbb{R}$.

- Hàm số cho bằng công thức$y=\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$được gọi là hàm số tang, kí hiệu là y = tanx. Tập xác định của hàm số tang là$\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{\frac{\pi }{2}+k\pi |k\in \mathbb{Z}\right\}$.

- Hàm số cho bằng công thức$y=\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }$được gọi là hàm số tang, kí hiệu là y = tanx. Tập xác định của hàm số tang là$\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{k\pi |k\in \mathbb{Z}\right\}$.

Hàm số tuần hoàn

Hàm số y = f(x) có tập xác định D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu tồn tại số T$\ne$0 sao cho với mọi$x\in D$ta có:

+)$x+T\in D$và$x-T\in D$

+)$f(x+T)=f(x)$

Số T dương nhỏ nhất thỏa mãn cách điều kiện trên (nêu có) được gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn đó.

* Nhận xét:

Các hàm số y = sinx, y=cosx tuần hoàn chu kì 2$\pi$.

Các hàm số y = tanx, y=cotx tuần hoàn chu kì$\pi$.

Đồ thị và tính chất của hàm số y = sinx

- Tập xác định là $\mathbb{R}$.

- Tập giá trị là [-1;1].

- Là hàm số lẻ và tuần hoàn chu kì 2$\pi$.

- Đồng biến trên mỗi khoảng $\left(-\frac{\pi }{2}+k2\pi ;\frac{\pi }{2}+k2\pi \right)$ và nghịch biến trên mỗi khoảng $\left(\frac{\pi }{2}+k2\pi ;\frac{3\pi }{2}+k2\pi \right)$.

- Có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ và gọi là một đường hình sin.

Đồ thị và tính chất của hàm số y = cosx

Tập xác định là$\mathbb{R}$.

Tập giá trị là [-1;1].

Là hàm số chẵn và tuần hoàn chu kì 2$\pi$.

Đồng biến trên mỗi khoảng$\left(-\pi +k2\pi ;k2\pi \right)$và nghịch biến trên mỗi khoảng$\left(k2\pi ;\pi +k2\pi \right)$.

Có đồ thị là một đường hình sin đối xứng qua trục tung.

Đồ thị và tính chất của hàm số y = tanx

Tập xác định là $\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{\frac{\pi }{2}+k\pi |k\in \mathbb{Z}\right\}$.

Tập giá trị là $\mathbb{R}$.

Là hàm số lẻ và tuần hoàn chu kì $\pi$.

Đồng biến trên mỗi khoảng $\left(-\frac{\pi }{2}+k\pi ;\frac{\pi }{2}+k\pi \right)$, $k\in \mathbb{Z}$.

Có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.

Đồ thị và tính chất của hàm số y = cotx

Tập xác định là$\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{k\pi |k\in \mathbb{Z}\right\}$.

Tập giá trị là$\mathbb{R}$.

Là hàm số lẻ và tuần hoàn chu kì$\pi$.

Đồng biến trên mỗi khoảng$\left(k\pi ;\pi +k\pi \right)$,$k\in \mathbb{Z}$.

Có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.