Cho cos alpha = 3/4, sin alpha > 0, sin beta = 3/5, bêta thuộc (9pi/2; 5pi)

Giải SBT Toán 11 Bài tập cuối chương 1 trang 25

Bài 1.54 trang 28 SBT Toán 11 Tập 1: Cho cos α = $\frac{3}{4}$, sin α > 0; sin β = $\frac{3}{5}$, $\beta \in \left(\frac{9\pi }{2};5\pi \right)$. Hãy tính cos 2α, sin 2α, cos 2β, sin 2β, cos (α + β), sin (α – β).

Lời giải:

Ta có cos 2α = 2 cos² α – 1 = $2.{\left(\frac{3}{4}\right)}^2-1=\frac{1}{8}$.

Ta có sin² α = 1 – cos² a = $1-{\left(\frac{3}{4}\right)}^2$= $\frac{7}{16}$.  

Lại do sin α > 0 nên sin α = $\frac{\sqrt{7}}{4}$.

Suy ra sin 2α = 2 sin α cos α = $2.\frac{\sqrt{7}}{4}.\frac{3}{4}=\frac{3\sqrt{7}}{8}$.

Ta có cos 2β = 1 – 2 sin² β = $1-2.{\left(\frac{3}{5}\right)}^2$ = $\frac{7}{25}$.

Ta có cos² β = 1 – sin² β = $1-{\left(\frac{3}{5}\right)}^2$= $\frac{16}{25}$.

Lại do $\beta \in \left(\frac{9\pi }{2};5\pi \right)$ nên cos β < 0, do đó $\cos \beta =-\frac{4}{5}$.

Suy ra sin 2β = 2 sin β cos β = $2.\frac{3}{5}.\left(-\frac{4}{5}\right)=-\frac{24}{25}$.

Ta có 

cos(α + β) = cos α cos β – sin α sin β = $\frac{3}{4}.\left(-\frac{4}{5}\right)-\frac{\sqrt{7}}{4}.\frac{3}{5}=\frac{-12-3\sqrt{7}}{20}$.

sin(α – β) = sin α cos β – cos α sin β = $\frac{\sqrt{7}}{4}.\left(-\frac{4}{5}\right)-\frac{3}{4}.\frac{3}{5}=\frac{-9-4\sqrt{7}}{20}$.