Hai sóng âm có phương trình lần lượt là f1(t) = C sin omega.t và f2(t) = C sin(omega.t + α)

Giải SBT Toán 11 Bài tập cuối chương 1 trang 25

Bài 1.57 trang 29 SBT Toán 11 Tập 1: Hai sóng âm có phương trình lần lượt là

f₁(t) = C sin ωt và f₂(t) = C sin(ωt + α).

Hai sóng này giao thoa với nhau tạo ra một âm kết hợp có phương trình

f(t) =  f₁(t) + f₂(t) = C sin ωt + C sin(ωt + α).

a) Sử dụng công thức cộng chỉ ra rằng hàm f(t) có thể viết được dưới dạng f(t) = A sin ωt + B cos ωt, ở đó A, B là hai hằng số phụ thuộc vào α.

b) Khi C = 10 và $\alpha =\frac{\pi }{3}$, hãy tìm biên độ và pha ban đầu của sóng âm kết hợp, tức là tìm hai hằng số k và φ sao cho f(t) = k sin(ωt + φ).

Lời giải:

a) Ta có f(t) = f₁(t) + f­­₂(t)

= C sin ωt + C sin(ωt + α)

= C sin ωt + C(sin ωt cos α + cos ωt sin α)

= C sin ωt + C sin ωt cos α + C cos ωt sin α

= C(1 + cos α) sin ωt + C sin α cos ωt.

Vậy f(t) = C(1 + cos α) sin ωt + C sin α cos ωt với A = C(1 + cos α) và B = C sin α.

b) Khi C = 10 và $\alpha =\frac{\pi }{3}$ ta có

$f\left(t\right)=10\sin \omega t+10\sin \left(\omega t+\frac{\pi }{3}\right)$

$=10.2\sin \frac{\omega t+\omega t+\frac{\pi }{3}}{2}\cos \frac{\omega t-\omega t-\frac{\pi }{3}}{2}$

$=20\sin \left(\omega t+\frac{\pi }{6}\right)\cos \left(-\frac{\pi }{6}\right)$

$=10\sqrt{3}\sin \left(\omega t+\frac{\pi }{6}\right)$.

Vậy biên độ và pha ban đầu của sóng âm kết hợp lần lượt là $k=10\sqrt{3}$ và $\phi =\frac{\pi }{6}$.