Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x: A=sin(pi/4+x) - cos(pi/4-x)

Giải SBT Toán 11 Bài tập cuối chương 1 trang 25

Bài 1.56 trang 28 SBT Toán 11 Tập 1: Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x:

a) $A=\sin \left(\frac{\pi }{4}+x\right)-\cos \left(\frac{\pi }{4}-x\right)$;

b) $B=\cos \left(\frac{\pi }{6}-x\right)-\sin \left(\frac{\pi }{3}+x\right)$;

c) $C={\sin }^{2}x+\cos \left(\frac{\pi }{3}-x\right)\cos \left(\frac{\pi }{3}+x\right)$;

d) $D=\frac{1-\cos 2x+\sin 2x}{1+\cos 2x+\sin 2x}.\cot x$.

Lời giải:

a) Cách 1:

$A=\sin \left(\frac{\pi }{4}+x\right)-\cos \left(\frac{\pi }{4}-x\right)$

$=\left(\sin \frac{\pi }{4}\cos x+\cos \frac{\pi }{4}\sin x\right)-\left(\cos \frac{\pi }{4}\cos x+\sin \frac{\pi }{4}\sin x\right)$

$=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x+\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x\right)-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x+\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x\right)=0\forall x$.

Vậy biểu thức A không phụ thuộc vào biến x.

Cách 2:

$A=\sin \left(\frac{\pi }{4}+x\right)-\cos \left(\frac{\pi }{4}-x\right)$

$=\sin \left(\frac{\pi }{4}+x\right)-\sin \left(\frac{\pi }{4}+x\right)=0\forall x$.

Vậy biểu thức A không phụ thuộc vào biến x.

b) $B=\cos \left(\frac{\pi }{6}-x\right)-\sin \left(\frac{\pi }{3}+x\right)$

$=\cos \left(\frac{\pi }{6}-x\right)-\cos \left(\frac{\pi }{6}-x\right)=0\forall x$.

Vậy biểu thức B không phụ thuộc vào biến x.

c) $C={\sin }^{2}x+\cos \left(\frac{\pi }{3}-x\right)\cos \left(\frac{\pi }{3}+x\right)$

$={\sin }^{2}x+\frac{1}{2}\left(\cos \frac{2\pi }{3}+\cos \left(-2x\right)\right)$

$={\sin }^{2}x+\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}+\cos 2x\right)$

$={\sin }^{2}x+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-2{\sin }^{2}x\right)$

$={\sin }^{2}x+\frac{1}{4}-{\sin }^{2}x=\frac{1}{4}\forall x$.

Vậy biểu thức C không phụ thuộc vào biến x.

d) $D=\frac{1-\cos 2x+\sin 2x}{1+\cos 2x+\sin 2x}.\cot x$

$=\frac{1-\left(1-2{\sin }^{2}x\right)+2\sin x\cos x}{1+\left(2{\cos }^{2}x-1\right)+2\sin x\cos x}.\cot x$

$=\frac{2{\sin }^{2}x+2\sin x\cos x}{2{\cos }^{2}x+2\sin x\cos x}.\cot x$

$=\frac{2\sin x\left(\sin x+\cos x\right)}{2\cos x\left(\cos x+\sin x\right)}.\cot x$

$=\frac{\sin x}{\cos x}.\cot x=\tan x.\cot x=1\forall x$.

Vậy biểu thức D không phụ thuộc vào biến x.