Số nghiệm của phương trình 2cos x = căn 3 trên đoạn [0; 5pi/2] là

Giải SBT Toán 11 Bài tập cuối chương 1 trang 25

Bài 1.48 trang 27 SBT Toán 11 Tập 1: Số nghiệm của phương trình $2\cos x=\sqrt{3}$ trên đoạn là

A. 1.

B. 4.

C. 3.

D. 2.

Đáp án đúng là: C

Lời giải:

Ta có $2\cos x=\sqrt{3}$$\iff \cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}$$\iff \cos x=\cos \frac{\pi }{6}$$\iff x=\pm \frac{\pi }{6}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

Vì nên:

+ Với $x=\frac{\pi }{6}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ thì $0\le \frac{\pi }{6}+k2\pi \le \frac{5\pi }{2}\iff -\frac{1}{12}\le k\le \frac{7}{6}$ , mà k ∈ ℤ, từ đó suy ra k ∈ {0; 1}.

+ Với $x=\frac{\pi }{6}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ thì $0\le -\frac{\pi }{6}+k2\pi \le \frac{5\pi }{2}\iff \frac{1}{12}\le k\le \frac{4}{3}$, mà k ∈ ℤ, từ đó suy ra k = 1.

Vậy phương trình $2\cos x=\sqrt{3}$ có 3 nghiệm trên đoạn .

*Phương pháp giải:

- Nếu m biểu diễn được dưới dạng cos của những góc đặc biệt thì:

-Xét nghiệm trên đoạn đề bài yêu cầu

-Kết luận

*Lý thuyết:

* Công thức nghiệm cơ bản

a) Phương trình sin x = m

Trường hợp 1: |m| > 1. Phương trình vô nghiệm.

Trường hợp 2: |m| ≤ 1. Phương trình có nghiệm.

- Nếu m biểu diễn được dưới dạng sin của những góc đặc biệt thì:

sinx = m ⇔ sinx = sinα ⇔

- Nếu m không biểu diễn được dưới dạng sin của những góc đặc biệt thì:

sinx = m ⇔

- Các trường hợp đặc biệt:

sinx = 0 ⇔ x = kπ (k ∈ Z)

sinx = 1 ⇔ x =+ k2π (k ∈ Z)

sinx = -1 ⇔ x = -+ k2π (k ∈ Z)

b) Phương trình cos x = m

Trường hợp 1: |m| > 1. Phương trình vô nghiệm.

Trường hợp 2:|m| ≤ 1. Phương trình có nghiệm.

- Nếu m biểu diễn được dưới dạng cos của những góc đặc biệt thì:

- Nếu m không biểu diễn được dưới dạng cos của những góc đặc biệt thì:

- Các trường hợp đặc biệt:

cosx = 0 ⇔ x =+ kπ (k ∈ Z)

cosx = 1 ⇔ x = k2π (k ∈ Z)

cosx = -1 ⇔ x = π + k2π (k ∈ Z)

c) Phương trình: tan x = m. Điều kiện: x ≠+ kπ (k ∈ Z)

- Nếu m biểu diễn được dưới dạng tan của những góc đặc biệt thì:

tan x = m ⇔ tan x = tan α ⇔ x = α + kπ (k ∈ Z)

- Nếu m không biểu diễn được dưới dạng tan của những góc đặc biệt thì:

tan x = m ⇔ x = αrctan m + kπ (k ∈ Z)

d) Phương trình: cot x = m. Điều kiện:x ≠kπ (k ∈ Z)

- Nếu m biểu diễn được dưới dạng cot của những góc đặc biệt thì:

cot x = m ⇔ cot x = cot α ⇔ x = α + kπ (k ∈ Z)

- Nếu m không biểu diễn được dưới dạng cot của những góc đặc biệt thì:

cot x = m ⇔ x = αrccot m + kπ (k ∈ Z)

* Mở rộng công thức nghiệm, với u(x) và v(x) là hai biểu thức của x.

cos u(x) = cos v(x) ⇔ u(x) =+ k2π (k ∈ Z)

tan u(x) = tan v(x) ⇔ u(x) = v(x) + kπ (k ∈ Z)

cot u(x) = cot v(x) ⇔ u(x) = v(x) + kπ (k ∈ Z)