Giải các phương trình sau: a) sin 5x + cos 5x = –1

Giải SBT Toán 11 Bài tập cuối chương 1 trang 25

Bài 1.63 trang 30 SBT Toán 11 Tập 1: Giải các phương trình sau:

a) sin 5x + cos 5x = – 1;

b) cos 3x – cos 5x = sin x;

c) 2 cos² x + cos 2x = 2;

d) sin⁴ x + cos⁴ x = $\frac{1}{2}$sin² 2x.

Lời giải:

a) Ta có sin 5x + cos 5x = – 1

$\iff \sqrt{2}\sin \left(5x+\frac{\pi }{4}\right)=-1$

$\iff \sin \left(5x+\frac{\pi }{4}\right)=-\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\iff \sin \left(5x+\frac{\pi }{4}\right)=\sin \left(-\frac{\pi }{4}\right)$

b) Ta có cos 3x – cos 5x = sin x

$\iff -2\sin \frac{3x+5x}{2}\sin \frac{3x-5x}{2}=\sin x$

$\iff -2\sin 4x\sin \left(-x\right)=\sin x$

$\iff 2\sin 4x\sin x-\sin x=0$

$\iff \sin x\left(2\sin 4x-1\right)=0$

+ Với sin x = 0 ta được x = kπ (k ∈ ℤ).

+ Với $\sin 4x=\frac{1}{2}$$\iff \sin 4x=\sin \left(\frac{\pi }{6}\right)$

c) Ta có 2 cos² x + cos 2x = 2

⇔ (2 cos² x – 1) + cos 2x = 1

⇔ cos 2x + cos 2x = 1

⇔ 2cos 2x = 1

⇔ cos 2x = $\frac{1}{2}$

⇔ cos 2x = $\cos \frac{\pi }{3}$

⇔ 2x = $\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

$\iff x=\pm \frac{\pi }{6}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

d) Ta có sin⁴ x + cos⁴ x = $\frac{1}{2}$sin² 2x

$\iff {\left({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x\right)}^2-2{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x=\frac{1}{2}{\sin }^{2}2x$

$\iff 1-\frac{1}{2}{\left(2\sin x\cos x\right)}^2=\frac{1}{2}{\sin }^{2}2x$

$\iff 1-\frac{1}{2}{\sin }^{2}2x=\frac{1}{2}{\sin }^{2}2x$

$\iff {\sin }^{2}2x=1$

$\iff \cos 2x=0$  (do sin² 2x + cos² 2x = 1)

$\iff 2x=\frac{\pi }{2}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

$\iff x=\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.