Xét tính tuần hoàn của các hàm số sau: a) y = sin x/2 + cos 3x

Giải SBT Toán 11 Bài tập cuối chương 1 trang 25

Bài 1.61 trang 29 SBT Toán 11 Tập 1: Xét tính tuần hoàn của các hàm số sau:

a) y = sin$\frac{x}{2}$ + cos 3x;

b) y = cos 5x + tan$\frac{x}{3}$.

Lời giải:

a) Hàm số y = sin$\frac{x}{2}$ tuần hoàn với chu kì T₁ = $\frac{2\pi }{\frac{1}{2}}=4\pi$, hàm số y = cos 3x tuần hoàn với chu kì T₂ = $\frac{2\pi }{3}$. Ta có $4\pi =6\cdot \frac{2\pi }{3}$.

Ta chỉ ra rằng hàm số f(x) = = sin$\frac{x}{2}$ + cos 3x tuần hoàn như sau:

$f\left(x+4\pi \right)=\sin \frac{x+4\pi }{2}+\cos 3\left(x+4\pi \right)$

          $=\sin \left(\frac{x}{2}+2\pi \right)+\cos \left(3x+12\pi \right)$

          $=\sin \frac{x}{2}+\cos 3x=f\left(x\right)\forall x\in ℝ$.

Vậy hàm số đã cho là hàm số tuần hoàn với chu kì T = 4π.

b) Hàm số y = cos 5x tuần hoàn với chu kì T₁ = $\frac{2\pi }{5}$, hàm số y = tan$\frac{x}{3}$ hoàn với chu kì $T_2=\frac{\pi }{\frac{1}{3}}=3\pi$.

Ta có $6\pi =2\times 3\pi =15\times \frac{2\pi }{5}$.

Ta có thể chỉ ra hàm số f(x) = cos5x + tan$\frac{x}{3}$ tuần hoàn như sau

$f\left(x+6\pi \right)=\cos 5\left(x+6\pi \right)+\tan \frac{x+6\pi }{3}$

          $=\cos \left(5x+30\pi \right)+\tan \left(\frac{x}{3}+2\pi \right)$$=\cos 5x+\tan \frac{x}{3}=f\left(x\right)\forall x\in ℝ$.

Vậy hàm số đã cho là hàm số tuần hoàn với chu kì T = 6π.