Lý thuyết Hàm số lượng giác – Toán 11 Kết nối tri thức

Lý thuyết Toán 11 Bài 3: Hàm số lượng giác

Bài giảng Toán 11 Bài 3: Hàm số lượng giác

A. Lý thuyết Hàm số lượng giác

B. Bài tập Hàm số lượng giác

Bài 1. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:

a) f(x) = sinx cosx;

b) g(x) = sin²x + cos2x.

Hướng dẫn giải

a) Tập xác định của hàm số f(x) là D = ℝ.

Do đó, nếu x ∈ D thì –x ∈ D.

Ta có f(–x) = sin(–x) cos(–x) = –sinx . cosx = – f(x).

Vậy hàm số f(x) = sinx cosx là hàm số lẻ.

b) Tập xác định của hàm số g(x) là D = ℝ.

Do đó, nếu x ∈ D thì –x ∈ D.

Ta có g(–x) = sin²(–x) + cos2(–x) = [–sinx]² + cos(–2x) = sin²x + cos2x = f(x).

Vậy hàm số g(x) = sin²x + cos2x là hàm số chẵn.

Bài 2. Tìm tập giá trị của hàm số sau:

a) y = 1+ $\sqrt{\sin x}$;

b) y = 3cos - 1.

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện xác định của hàm số là sin x ≥ 0;

Vì –1 ≤ sin x ≤ 1 nên kết hợp với điều kiện xác định, ta có 0 ≤ sin x ≤ 1

Suy ra $0\le \sqrt{s\text{inx}}\le 1$ ⇒ 1+0 $\le$1 + $\sqrt{\sin x}$ $\le$ 1 + 1 ⇒ 1$\le$1+$\sqrt{\sin x}$$\le$2

⇒ 1 ≤ y ≤ 2

Vậy tập giá trị của hàm số y=1+$\sqrt{\sin x}$ là [1; 2].

b) Ta có $-1\le \cos$$\le$1, $\forall$x$\in$R ⇔ -3$\le$3cos $\le$3, $\forall$x$\in$R

⇔ -4$\le$3cos - 1$\le$2, $\forall$x$\in$R

⇔ –4 ≤ y ≤ 2, ∀x ∈ ℝ.

Vậy tập giá trị của hàm số y = 3cos - 1 là [–4; 2].

Bài 3. Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) $y=\frac{1+\sin x}{\cos x}$;

b) $y=\sqrt{\frac{1+\cos x}{1-\cos x}}$.

Hướng dẫn giải

a) Biểu thức $\frac{1+\sin x}{\cos x}$ có nghĩa khi cos x ≠ 0, tức là x ≠ $\frac{\pi }{2}+k\pi$(k ∈ ℤ).

Vậy tập xác định của hàm số $y=\frac{1+\sin x}{\cos x}$ là D = R\.

b) Biểu thức $\sqrt{\frac{1+\cos x}{1-\cos x}}$ có nghĩa khi (1)

Mặt khác, vì –1 ≤ cosx ≤ 1 ∀x ∈ ℝ nên 1 + cosx ≥ 0 và 1 – cosx ≥ 0

⇒ $\frac{1+\cos x}{1-\cos x}\ge 0$ khi 1 – cosx ≠ 0

Do đó (1) ⇔ 1 – cosx ≠ 0 ⇔ cosx ≠ 1 ⇔ x ≠ k2ℼ (k ∈ ℤ).

Vậy tập xác định của hàm số $y=\sqrt{\frac{1+\cos x}{1-\cos x}}$ là D = ℝ \ {k2ℼ | k ∈ ℤ}.

C. Trắc nghiệm Toán 11 Bài 3: Hàm số lượng giác

Câu 1. Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y = 3sinx - 2

A. M = 1, m = -5.   B. M = 3, m = 1

C. M = 2, m = -2   D. M = 0, m = -2.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có $-1\le \sin x\le 1\text{→}-3\le 3\sin x\le 3\text{→}-5\le 3\sin x-2\le 1$

$\text{→}-5\le y\le 1\text{→}$

Câu 2. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?

A. y = sin2x   B. y = xcosx   C. y = cosx.cotx   D. y = $\frac{\tan x}{\sin x}$

Hiển thị đáp án

- Xét hàm số y = f(x) = sin2x.

TXĐ: D = $ℝ$. Do đó $\forall x\in \text{D}\Rightarrow -x\in \text{D.}$

Ta có f(-x) = sin(-2x) = -sin2x = -f(x) $\to$f(x) là hàm số lẻ.

-Xét hàm số y = f(x) = xcosx.

TXĐ: D = $ℝ$. Do đó $\forall x\in \text{D}\Rightarrow -x\in \text{D.}$

Ta có f-x) = (-x).cos(-x) = -xcosx = -f(x) $\to$ f(x) là hàm số lẻ.

-Xét hàm số y = f(x) = cosx.cotx.

TXĐ: D = $ℝ$\{k$\pi$(k$\in$$\mathbb{Z}$)}. Do đó $\forall x\in \text{D}\Rightarrow -x\in \text{D.}$

Ta có f(-x) = cos(-x).cot(-x) = -cosxcotx = -f(x)$\to$f(x) là hàm số lẻ.

- D = $ℝ$.Xét hàm số y = f(x) = $\frac{\tan x}{\sin x}$.

TXĐ: D = $ℝ$\. Do đó $\forall x\in \text{D}\Rightarrow -x\in \text{D.}$

Ta có $f\left(-x\right)=\frac{\tan \left(-x\right)}{\sin \left(-x\right)}=\frac{-\tan x}{-\sin x}=\frac{\tan x}{\sin x}=f\left(x\right)$ $\text{→}f\left(x\right)$ là hàm số chẵn.

Câu 3. Tìm tập giá trị của hàm số y = 3cos2x + 5

A. T = [-1;1].   B. T = [-1;11]   C. T = [2;8]   D. T = [5;8]

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có -1$\le$cos2x$\le$1 $\to$ -3$\le$3cos2x$\le$3 $\to$ 2$\le$3cos2x+5$\le$8

$\to$ 2$\le$y$\le$8$\to$ T = [2;8].

Câu 4. Hàm số y = 5+4sin2xcos2x có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên?

A. 3.   B. 4.    C. 5.   D. 6.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có y = 5+4sin2xcos2x = 5+2sin4x. .

Mà -1$\le$sin4x$\le$1 $\to$-2$\le$2sin4x$\le$2 $\to$ 3$\le$5+2sin4x$\le$7

→ y$\le$7 $\text{→}3\le y\le 7\stackrel{y\in \mathbb{Z}}{\to }y\in${3;4;5;6;7} nên y có 5 giá trị nguyên.

Câu 5. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = sinx + cosx. Tính P = M - m.

A. P = 4   B. P = 2$\sqrt{2}$   C. P = $\sqrt{2}$   D. P = 2

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có y = sinx + cosx = $\sqrt{2}$sin$\left(x+\frac{\pi }{4}\right)$.

Mà -1$\le$sin$\left(x+\frac{\pi }{4}\right)$$\le$1 $\to$-$\sqrt{2}$$\le$$\sqrt{2}$sin$\left(x+\frac{\pi }{4}\right)$$\le$$\sqrt{2}$

$\to$$\to$P = M - m = 2$\sqrt{2}$.

Câu 6. Tìm chu kì T của hàm số y = cos2x + sin$\frac{\pi }{2}$

A. T = 4$\pi$   B. T = $\pi$   C. T = 2$\pi$   D. T = $\frac{\pi }{2}$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

Hàm số y = cos2x tuần hoàn với chu kì $T_1=\frac{2\pi }{2}=\pi .$

Hàm số y = sin$\frac{x}{2}$ tuần hoàn với chu kì $T_2=\frac{2\pi }{\frac{1}{2}}=4\pi .$

Suy ra hàm số y = cos2x + sin$\frac{x}{2}$ tuần hoàn với chu kì T = 4$\pi$.

Nhận xét. T là của T₁ và T₂

Câu 7. Tìm chu kì T của hàm số y = cos3x + cos5x.

A. T = $\pi$   B. T = 3$\pi$   C. T = 2$\pi$   D. T = 5$\pi$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: C

Hàm số y = cos3x tuần hoàn với chu kì $T_1=\frac{2\pi }{3}.$

Hàm số Y = cos5x tuần hoàn với chu kì $T_2=\frac{2\pi }{5}.$

Suy ra hàm số y = cos3x + cos5x tuần hoàn với chu kì T = 2$\pi$

Câu 8. Hàm số nào sau đây có chu kì khác $\pi$?

A. $y=\sin \left(\frac{\pi }{3}-2x\right).$  B. $y=\cos 2\left(x+\frac{\pi }{4}\right).$

C. y = tan(-2x+1).  D. y = cosxsinx

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: C

Vì y = tan(-2x+1) có chu kì

Nhận xét. Hàm số y = cosxsinx = $\frac{1}{2}$sin2x có chu kỳ là $\pi$.

Câu 9. Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ?

A. $y=\frac{1}{{\sin }^{3}x}.$   B. $y=\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right).$

C. $y=\sqrt{2}\cos \left(x-\frac{\pi }{4}\right).$    D. $y=\sqrt{\sin 2x}.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

Viết lại đáp án B là $y=\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\sin x+\cos x\right).$

Viết lại đáp án C là $y=\sqrt{2}\cos \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=\sin x+\cos x.$

Kiểm tra được đáp án A là hàm số lẻ nên có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.

Ta kiểm tra được đáp án B và C là các hàm số không chẵn, không lẻ.

Xét đáp án D:

- Hàm số xác định $\iff$sin2x $\ge$0 $\iff$ 2x$\in$[k2$\pi$;$\pi$+k2$\pi$] $\iff$ x$\in$

-> D = (k$\in$Z).

- Chọn $x=\frac{\pi }{4}\in \text{D}$ nhưng $-x=-\frac{\pi }{4}\notin \text{D.}$ Vậy $y=\sqrt{\sin 2x}$ không chẵn, không lẻ.

Câu 10. Tìm tập xác định D của hàm số $y=\frac{2021}{\sin x}.$

A. D = $ℝ$     B. D = $ℝ$\{0}

C. D =$ℝ$\{k$\pi$,$\in$$\mathbb{Z}$}   D. D = $ℝ$\

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: C

Hàm số xác định khi và chỉ khi sinx$\ne$0 $\iff$x$\ne$k$\pi$, k$\in$$\mathbb{Z}$.

Vật tập xác định D = $ℝ$\{k$\pi$,k$\in$$\mathbb{Z}$}.

Câu 11. Trong các hàm số sau đây, hàm số nào không tuần hoàn?

A. y = cosx   B. y = cos2x   C. y = x²cosx.   D. y = $\frac{1}{\sin 2x}$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: C

Câu 12. Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D.

Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

A. y = 1+sin2x   B. y = cosx   C. y = -sinx   D. y = -cosx

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta thấy tại x = 0 thì y = 1. Do đó loại đáp án C và D.

Tại x = $\frac{\pi }{2}$ thì y = 0. Do đó chỉ có đáp án B thỏa mãn.