Lý thuyết Công thức lượng giác – Toán 11 Kết nối tri thức

B. Bài tập Công thức lượng giác

Bài 1. Tính

a) sin biết sin a = $\frac{3}{4}$ và 0 < a < $\frac{\pi }{2}$;

b) cos$\frac{3\pi }{8}$.cos$\frac{\pi }{8}$ + sin$\frac{3\pi }{8}$.sin$\frac{\pi }{8}$.

Hướng dẫn giải

a) Vì 0<a<$\frac{\pi }{2}$ nên cosa > 0.

Ta có: sin²a + cos²a = 1 ⇒ cos²a = 1 – sin²a = 1-=$\frac{7}{16}$

⇒ cosa = $\frac{\sqrt{7}}{4}$.

Vậy sin$=\sin a\cos \frac{\pi }{3}-\cos a\sin \frac{\pi }{3}=\frac{3}{4}.\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{7}}{4}.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3-\sqrt{21}}{8}$ .

Suy ra: $\cos \frac{3\pi }{8}.\cos \frac{\pi }{8}+\sin \frac{3\pi }{8}.\sin \frac{\pi }{8}=\frac{\sqrt{2}}{4}+\frac{\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Bài 2. Tính

a) cos(–15°) + cos255°;

b) sin$\frac{13\pi }{24}$sin$\frac{5\pi }{24}$.

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

cos(-15^o) + cos255^o = 2.cos$\frac{-15°+255°}{2}$.cos$\frac{-15°-255°}{2}$

= 2.cos120^o.cos(135^o) = 2

Vậy cos(–15°) + cos255° = $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

b) Ta có:

Vậy $\sin \frac{13\pi }{24}\sin \frac{5\pi }{24}=\frac{1+\sqrt{2}}{4}$.

Bài 3. Tính sin2a và tan2a biết cos a = $\frac{1}{4}$ và $\frac{3\pi }{2}$<a<2$\pi$.

Hướng dẫn giải

Vì $\frac{3\pi }{2}$<a<2$\pi$nên sina < 0.

Ta có:

sin²a + cos²a = 1 ⇒ sin²a = 1 – cos²a = 1 - = $\frac{15}{16}$

⇒ sina = $-\frac{\sqrt{15}}{4}$.

Ta có: sin2a = 2sina cosa = 2..$\frac{1}{4}$ = $-\frac{\sqrt{15}}{8}$

Ta có: tana = $\frac{\sin a}{\cos a}=-\sqrt{15}$

⇒$\tan 2a=\frac{2\tan a}{1-{\tan }^{2}a}$==$=\frac{-2\sqrt{15}}{-14}=\frac{\sqrt{15}}{7}$.

C. Trắc nghiệm Toán 11 Bài 2: Công thức lượng giác

Câu 1. Cho $0<\alpha ,\beta <\frac{\pi }{2}$ và thỏa mãn tan$\alpha =\frac{1}{7}$, tan$\beta =\frac{3}{4}$. Góc $\alpha +\beta$ có giá trị bằng

A. $\frac{\pi }{3}.$   B. $\frac{\pi }{4}$.   C. $\frac{\pi }{6}$.   D. $\frac{\pi }{2}$.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có $\tan \left(\alpha +\beta \right)=\frac{\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha .\tan \beta }=\frac{\frac{1}{7}+\frac{3}{4}}{1-\frac{1}{7}.\frac{3}{4}}=1$ suy ra a + b = $\frac{\pi }{4}$.

Câu 2. Nếu tan(a+b) = 7, tan(a-b) = 4 thì giá trị đúng của tan2a là

A. $-\frac{11}{27}.$   B. $\frac{11}{27}.$   C. $-\frac{13}{27}.$    D. $\frac{13}{27}$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có tan2a = tan[(a+b)+(a-b)] = $\frac{\tan \left(a+b\right)+\tan \left(a-b\right)}{1+\tan \left(a+b\right).\tan \left(a-b\right)}=\frac{7+4}{1-7.4}=-\frac{11}{27}.$

Câu 3. Rút gọn biểu thức M = tanx - tany.

A. M = tan(x-y).   B. M = $\frac{\sin \left(x+y\right)}{\cos x.\cos y}.$

C. M = $\frac{\sin \left(x-y\right)}{\cos x.\cos y}.$   D. M = $\frac{\tan x-\tan y}{1+\tan x.\tan y}.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có M = tanx - tany = $\frac{\sin x}{\cos x}-\frac{\sin y}{\cos y}=\frac{\sin x\cos y-\cos x\sin y}{\cos x\cos y}$

$=\frac{\sin \left(x-y\right)}{\cos x\cos y}.$

Câu 4. Giá trị của biểu thức $P=\frac{\sin \frac{5\pi }{18}\cos \frac{\pi }{9}-\sin \frac{\pi }{9}\cos \frac{5\pi }{18}}{\cos \frac{\pi }{4}\cos \frac{\pi }{12}-\sin \frac{\pi }{4}\sin \frac{\pi }{12}}$ là

A. 1.   B. $\frac{1}{2}$   C. $\frac{\sqrt{2}}{2}$    D. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

Áp dụng công thức

Khi đó $\sin \frac{5\pi }{18}\cos \frac{\pi }{9}-\sin \frac{\pi }{9}\cos \frac{5\pi }{18}=\sin \left(\frac{5\pi }{18}-\frac{\pi }{9}\right)=\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}.$

Và $\cos \frac{\pi }{4}\cos \frac{\pi }{12}-\sin \frac{\pi }{4}\sin \frac{\pi }{12}=\cos \left(\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{12}\right)=\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}.$

Vậy $P=\frac{1}{2}:\frac{1}{2}=1.$

Câu 5. Trong $∆$ABC, nếu $\frac{\sin B}{\sin C}$= 2cosA thì $∆$ABC là tam giác có tính chất nào sau đây?

A. Cân tại B.   B. Cân tại A.   C. Cân tại C.   D. Vuông tại B.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có $\frac{\sin B}{\sin C}$= 2cosA$\Rightarrow$sinB = 2sinC.cosA = sin(C+A)+sin(C-A)

Mặt khác A+B+C = $\pi$$\Rightarrow$B = $\pi$-(A+C) $\Rightarrow$sinB = sin(A+C).

Do đó, ta được sin(C-A) = 0$\Rightarrow$A = C.

Câu 6. Cho góc $\alpha$ thỏa mãn $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$ và $\sin \alpha =\frac{4}{5}$. Tính P = sin2($\alpha$+$\pi$).

A. P = -$\frac{24}{25}$.   B. P = $\frac{24}{25}$.   C. P = -$\frac{12}{25}$   D. P =$\frac{12}{25}$.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có P = sin2($\alpha +\pi$) = sin(2$\alpha$+2$\pi$) = sin2$\alpha$ = 2sin$\alpha$cos$\alpha$.

Từ hệ thức ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$, suy ra $\cos \alpha =\pm \sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=\pm \frac{3}{5}$.

Do $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$ nên ta chọn $\cos \alpha =-\frac{3}{5}$ .

Thay $\sin \alpha =\frac{4}{5}$ và $\cos \alpha =-\frac{3}{5}$ vào P , ta được $P=2.\frac{4}{5}.\left(-\frac{3}{5}\right)=-\frac{24}{25}$ .

Câu 7. Cho x, y là các góc nhọn và dương thỏa mãn cotx = $\frac{3}{4}.$, coty = $\frac{1}{7}.$ Tổng x+y bằng

A. $\frac{\pi }{4}.$   B. $\frac{3\pi }{4}.$   C. $\frac{\pi }{3}.$   D. $\pi$.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có cot(x+y) = $\frac{\cot x.\cot y-1}{\cot x+\cot y}=\frac{\frac{3}{4}.\frac{1}{7}-1}{\frac{3}{4}+\frac{1}{7}}=-1.$

Mặt khác 0<x,y<$\frac{\pi }{2}$ suy ra 0<x+y<$\pi$. Do đó x+y = $\frac{3\pi }{4}$.

Câu 8. Nếu tan$\alpha$ và tan$\beta$ là hai nghiệm của phương trình x²+px+q = 0 (q$\ne$1) thì tan($\alpha$+$\beta$) bằng

A. $\frac{p}{q-1}.$   B. -$\frac{p}{q-1}.$   C. $\frac{2p}{1-q}.$   D. $-\frac{2p}{1-q}.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

Vì tan$\alpha$ , tan$\beta$ là hai nghiệm của phương trình x²+px+q = 0 nên theo định lí Viet, ta có Khi đó

. Khi đó tan($\alpha$+$\beta$) = $\frac{\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }=\frac{p}{q-1}.$

Câu 9. Nếu $\alpha$+$\beta$+$\gamma$ = $\frac{\pi }{2}$ và cot$\alpha$ + cot$\gamma$ = 2cot$\beta$ thì cot$\alpha$.cot$\gamma$ bằng

A. $\sqrt{3}$.   B. - $\sqrt{3}$ .   C. 3.   D. -3.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: C

Từ giả thiết, ta có $\alpha +\beta +\gamma =\frac{\pi }{2}\Rightarrow \beta =\frac{\pi }{2}-\left(\alpha +\gamma \right).$

Suy ra $\cot \alpha +\cot \gamma =2\cot \beta =2.\cot \left(\frac{\pi }{2}-\left(\alpha +\gamma \right)\right)$

$=2.\tan \left(\alpha +\gamma \right)=2.\frac{\tan \alpha +\tan \gamma }{1-\tan \alpha .\tan \gamma }$

Mặt khác $\frac{\tan \alpha +\tan \gamma }{1-\tan \alpha .\tan \gamma }=\frac{\frac{1}{\cot \alpha }+\frac{1}{\cot \gamma }}{1-\frac{1}{\cot \alpha }.\frac{1}{\cot \gamma }}=\frac{\cot \alpha +\cot \gamma }{\cot \alpha .\cot \gamma -1}$ nên suy ra

$\cot \alpha +\cot \gamma =2.\frac{\cot \alpha +\cot \gamma }{\cot \alpha .\cot \gamma -1}\iff \cot \alpha .\cot \gamma -1=2\iff \cot \alpha .\cot \gamma =3.$

Câu 10. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. sin(2018a) = 2018sina.cosa.

B. sin(2018a) = 2018sin(1009a).cos(1009a).

C. sin(2018a) = 2sinacosa.

D. sin(2018a) = 2sin(1009a).cos(1009a).

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: D

Áp dụng công thức sin2$\alpha$ = 2sin$\alpha$.cos$\alpha$ ta được

sin(2018a) = 2sin(1009a).cos(1009a).

Câu 11. Khẳng định nào sai trong các khẳng định sau?

A. ${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}.$   B. ${\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}.$

C. $\sin x=2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}.$   D. $\cos 3x={\cos }^{3}x-{\sin }^{3}x.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: D

Ta có cos3x = 4cos³x - 3cosx.

Câu 12. Công thức nào sau đây đúng?

A. cos3a = 3cosa - 4cos³a.   B. cos3a = 4cos³a - 3cosa.

C. cos3a = 3cos³a - 4cosa.   D. cos3a = 4cosa - 3cos³a.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: B