Lý thuyết Giá trị lượng giác của góc lượng giác – Toán 11 Kết nối tri thức

Lý thuyết Toán 11 Bài 1: Giá trị lượng giác của góc lượng giác - Kết nối tri thức

Bài giảng Toán 11 Bài 1: Giá trị lượng giác của góc lượng giác

A. Lý thuyết Giá trị lượng giác của góc lượng giác

1. Góc lượng giác

a, Khái niệm góc lượng giác và số đo của góc lượng giác

Trong mặt phẳng, cho 2 tia Ou, Ov. Xét tia Om cùng nằm tròn mặt phẳng này. Nếu tia Om quay quanh điểm O, theo một chiều nhất định từ Ou đến Ov, thì ta nói nó quét một góc lượng giác với tia đầu Ou và tia cuối Ov.

Kí hiệu: (Ou, Ov).

Số đo của góc lượng giác có tia đầu Ou và tia cuối Ov kí hiệu là sđ(Ou, Ov).

b, Hệ thức Chasles

Với 3 tia Ou, Ov, Ow bất kì ta có:

Sđ(Ou,Ov) + sđ(Ov, Ow) = sđ(Ou,Ow) +k360^o.

2. Đơn vị đo góc và độ dài cung tròn

a, Đơn vị đo góc và cung tròn

Đơn vị độ: $1^o={60}^{\prime },1^{\prime }={60}^{″}$

Đơn vị rađian: $1^o=\frac{\pi }{180}$rad, 1 rad =${\left(\frac{180}{\pi }\right)}^o$

b, Độ dài cung tròn

Một cung tròn của đường tròn bán kính R và có số đo $\alpha$rad thì có độ dài $l=R\alpha$

3. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

a, Đường tròn lượng giác

Đường tròn lượng giác là đường tròn có tâm tại gốc tọa độ, bán kính bằng 1, được định hướng và lấy điểm A(1;0) làm điểm gốc của đường tròn.

Điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo $\alpha$(độ hoặc rad) là điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho sđ (OA, OM) =$\alpha$.

b, Các giá trị lượng giác của góc lượng giác:

Trục tung là trục sin, trục hoành là trục côsin

Điểm M(x;y) nằm trên đường tròn như hình vẽ. Khi đó:

$x=$cos$\alpha$, $y=$sin$\alpha$.

tan$\alpha$$=\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{y}{x}\left(x\ne 0\right)$

$\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{x}{y}\left(y\ne 0\right)$.

c, Bảng xác định dấu của các giá trị lượng giác

d, Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt

e, Cách bấm máy tính để tìm giá trị lượng giác của góc

4. Quan hệ giữa các giá trị lượng giác

a, Các công thức lượng giác cơ bản

$\begin{array}{l}{\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1\\ 1+{\tan }^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }\left(\alpha \ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right)\\ 1+{\cot }^2\alpha =\frac{1}{{\sin }^2\alpha }\left(\alpha \ne k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right)\\ \tan \alpha .\cot \alpha =1\left(\alpha \ne \frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}\right)\end{array}$

b, Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt (cos đối, sin bù, phụ chéo, khác pi tan)

• Góc đối nhau ($\alpha$ và - $\alpha$)

$\begin{array}{l}\sin \left(-\alpha \right)=-\sin \alpha \\ \cos \left(-\alpha \right)=\cos \alpha \\ \tan \left(-\alpha \right)=-\tan \alpha \\ \cot \left(-\alpha \right)=-\cot \alpha \end{array}$

• Góc bù nhau ($\alpha$ và $\pi$ - $\alpha$)

$\begin{array}{l}\sin \left(\pi -\alpha \right)=\sin \alpha \\ \cos \left(\pi -\alpha \right)=-\cos \alpha \\ \tan \left(\pi -\alpha \right)=-\tan \alpha \\ \cot \left(\pi -\alpha \right)=-\cot \alpha \end{array}$

• Góc phụ nhau ($\alpha$ và $\frac{\pi }{2}$ - $\alpha$)

$\begin{array}{l}\sin \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)=c\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha \\ \cos \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)=\sin \alpha \\ \tan \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)=\cot \alpha \\ \cot \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)=\tan \alpha \end{array}$

• Góc hơn kém $\pi$ ($\alpha$ và $\pi$ + $\alpha$)

$\begin{array}{l}\sin \left(\pi +\alpha \right)=-\sin \alpha \\ \cos \left(\pi +\alpha \right)=-\cos \alpha \\ \tan \left(\pi +\alpha \right)=\tan \alpha \\ \cot \left(\pi +\alpha \right)=\cot \alpha \end{array}$

B. Bài tập Giá trị lượng giác của góc lượng giác

Bài 1. Tính các giá trị lượng giác của góc α, biết sinα = $-\frac{2}{5}$ và $\frac{3\pi }{2}<\alpha <2\pi$ .

Hướng dẫn giải

Vì $\frac{3\pi }{2}<\alpha <2\pi$ nên cos α > 0. Mặt khác, từ sin² α + cos² α = 1 suy ra

Do đó, $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{-\frac{2}{5}}{\frac{\sqrt{21}}{5}}=-\frac{2\sqrt{21}}{21}$ và $\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{\frac{\sqrt{21}}{5}}{-\frac{2}{5}}=-\frac{\sqrt{21}}{2}$ .

Bài 2. Tính

a) ;

b) tan(–780°).

Hướng dẫn giải

a) .

b) tan(– 780°) = tan(–60° – 2.360°) = tan(–60°) = – tan60° = $-\sqrt{3}$.

Bài 3. Dùng máy tính cầm tay để:

a) Đổi 56°32’ sang rađian.

b) Tính .

Hướng dẫn giải

a) Để đổi 56°32’ sang rađian ta bấm lần lượt như sau:

Màn hình hiển thị kết quả: 0,9866928038

Vậy 56°32’ bằng 0,9866928038 rađian.

b) Để tính ta bấm lần lượt như sau:

Màn hình hiển thị kết quả: 1,253960338

Vậy bằng 1,253960338.

Bài 4. Trên một đường tròn có bán kính bằng 5 cm, tìm độ dài của cung có số đo $\frac{2\pi }{3}$ .

Hướng dẫn giải

Ta có R = 5 cm; $\alpha =\frac{2\pi }{3}$. Suy ra l = Rα = $5.\frac{2\pi }{3}$ ≈ 10,5 (cm).

Vậy độ dài cung tròn là 10,5 cm.

C. Trắc nghiệm Toán 11 Bài 1: Giá trị lượng giác của góc lượng giác

Câu 1. Cho $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}.$ Khẳng định nào sau đây đúng?

A. tan$\left(\frac{3\pi }{2}-\alpha \right)$<0.   B. tan$\left(\frac{3\pi }{2}-\alpha \right)$>0

C. tan$\left(\frac{3\pi }{2}-\alpha \right)$$\le$0   D. tan$\left(\frac{3\pi }{2}-\alpha \right)$$\ge$0

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}\to 0<\frac{3\pi }{2}-\alpha <\frac{\pi }{2}$

A. P = 0   B. P = 1   C. P = 4   D. P = 8

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: B

Áp dụng công thức tanx.tan(90^o-x) = tanx.cotx = 1.

Do đó P = 1.

Câu 3. Cho P = sin($\pi +\alpha$).cos($\pi -\alpha$) và Q = $\sin \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right).\cos \left(\frac{\pi }{2}+\alpha \right).$ Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. P+Q = 0   B. P+Q = -1   C. P+Q = 1   D. P+Q = 2

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có P = sin($\pi +\alpha$).cos($\pi -\alpha$) = -sin$\alpha$.(-cos$\alpha$) = sin$\alpha$.cos$\alpha$.

Và Q = $\sin \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right).\cos \left(\frac{\pi }{2}+\alpha \right).$ = cos$\alpha$.(-sin$\alpha$) = -sin$\alpha$.cos$\alpha$.

Khi đó P+Q = sin$\alpha$.cos$\alpha$ - sin$\alpha$.cos$\alpha$ = 0

Câu 4. Biết A, B, C là các góc của tam giác ABC, mệnh đề nào sau đây đúng:

A. sin(A+C) = -sinB     B. cos(A+C) = -cosB.

C. tan(A+C) = tanB     D. cot(A+C) = cotB.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: B

Vì A, B, C là ba góc của một tam giác suy ra A+C = $\pi$-B.

Khi đó (A+C) = sin($\pi$-B) = sinB; cos(A+C) = cos($\pi$-B) = -cosB.

tan(A+C) = tan($\pi$-B) = -tanB; cot(A+C) = cot($\pi$-B) = -cotB.

Câu 5. Cho góc $\alpha$ thỏa mãn sin$\alpha$ = $\frac{12}{13}$ và $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$. Tính cos$\alpha$.

A. cos$\alpha$ = $\frac{1}{13}$.   B. cos$\alpha$ = $\frac{5}{13}$.   C. cos$\alpha$ = -$\frac{5}{13}$   D. cos$\alpha$ = -$\frac{1}{13}$.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: D

Ta có

Câu 6. Cho góc $\alpha$ thỏa mãn cot$\alpha$ = $\frac{1}{3}$. Tính $P=\frac{3\sin \alpha +4\cos \alpha }{2\sin \alpha -5\cos \alpha }.$

A. P = -$\frac{15}{13}$   B. P = $\frac{15}{13}$.   C. P = -13   D. P = 13.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: D

Chia cả tử và mẫu của P cho sin$\alpha$ ta được $P=\frac{3+4\cot \alpha }{2-5\cot \alpha }=\frac{3+4.\frac{1}{3}}{2-5.\frac{1}{3}}=13$.

Câu 7. Cho góc $\alpha$ thỏa mãn sin$\alpha$ + cos$\alpha$ = $\frac{5}{4}$. Tính P = sin$\alpha$.cos$\alpha$.

A. P = $\frac{9}{16}$.   B. P = $\frac{9}{32}$ .   C. P = $\frac{9}{8}$.   D. P =$\frac{1}{8}$.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: B

Từ giả thiết, ta có (sin$\alpha$+cos$\alpha$)² = $\frac{25}{16}\iff$ 1 +2sin$\alpha$.cos$\alpha$ = $\frac{25}{16}$

Câu 8. Cho góc $\alpha$ thỏa mãn $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}$ và sin$\alpha$-2cos$\alpha$ = 1. Tính P = 2tan$\alpha$ - cot$\alpha$.

A. P = $\frac{1}{2}$.   B. P = $\frac{1}{4}$.   C. P =$\frac{1}{6}$.   D. P = $\frac{1}{8}$.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: C

Với $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}$ suy ra .

Ta có $\Rightarrow {\left(1+2\cos \alpha \right)}^2+{\cos }^2\alpha =1$

$\iff 5{\cos }^2\alpha +4\cos \alpha =0\iff$.

Từ hệ thức ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$, suy ra $\sin \alpha =-\frac{3}{5}$ (do sin$\alpha$<0) $\to$ tan$\alpha$ = $\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{3}{4}$và $\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{4}{3}.$

Thay $\tan \alpha =\frac{3}{4}$ và $\cot \alpha =\frac{4}{3}$ vào P, ta được P = $\frac{1}{6}$.

Câu 9. Khẳng định nào sau đây là đúng khi nói về “đường tròn lượng giác”?

A. Mỗi đường tròn là một đường tròn lượng giác.

B. Mỗi đường tròn có bán kính R = 1 là một đường tròn lượng giác.

C. Mỗi đường tròn có bán kính R = 1, tâm trùng với gốc tọa độ là một đường tròn lượng giác.

D. Mỗi đường tròn định hướng có bán kính R = 1, tâm trùng với gốc tọa độ là một đường tròn lượng giác.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: D

Câu 10. Đổi số đo của góc 70^o sang đơn vị radian.

A. $\frac{70}{\pi }.$   B. $\frac{7}{18}.$   C. $\frac{7\pi }{18}.$   D. $\frac{7}{18\pi }.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là:C

Áp dụng công thức $\alpha =\frac{a.\pi }{180}$ với $\alpha$ tính bằng radian, a tính bằng độ.

Ta có $\alpha =\frac{a.\pi }{180}=\frac{70\pi }{180}=\frac{7\pi }{18}$ .

Câu 11. Tính độ dài l của cung trên đường tròn có bán kính bằng 20cm và số đo $\frac{\pi }{16}.$

A. l = 3,93cm.   B. l = 2,94cm.   C. l = 3,39cm   D. l = 1,49cm

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là:A

Áp dụng công thức $l=R\alpha =20.\frac{\pi }{16}\approx 3,93\text{cm.}$

Câu 12. Với mọi số thực $\alpha$, ta có $\sin \left(\frac{9\pi }{2}+\alpha \right)$ bằng

A. -sin$\alpha$   B. cos$\alpha$   C. sin$\alpha$   D. -cos$\alpha$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có $\sin \left(\frac{9\pi }{2}+\alpha \right)=\sin \left(4\pi +\frac{\pi }{2}+\alpha \right)=\sin \left(\frac{\pi }{2}+\alpha \right)=\cos \alpha .$