Lý thuyết Hai mặt phẳng song song – Toán 11 Kết nối tri thức

Lý thuyết Toán 11 Bài 13: Hai mặt phẳng song song - Kết nối tri thức

Bài giảng Toán 11 Bài 13: Hai mặt phẳng song song

A. Lý thuyết Hai mặt phẳng song song

1. Hai mặt phẳng song song

Hai mặt $\left(\alpha \right)$ và $\left(\beta \right)$ được gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung. Kí hiệu $\left(\alpha \right)$// $\left(\beta \right)$ hay $\left(\beta \right)$//$\left(\alpha \right)$.

*Nhận xét: $\{\begin{array}{l}\left(\alpha \right)//\left(\beta \right)\\ d\subset \left(\alpha \right)\end{array}\Rightarrow d//\left(\beta \right)$.

2. Điều kiện và tính chất của hai mặt phẳng song song

Nếu mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ chứa hai đường thẳng cắt nhau và hai đường thẳng này song song với mặt phẳng phẳng $\left(\beta \right)$thì $\left(\alpha \right)$và $\left(\beta \right)$song song với nhau.

Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho.

Cho hai mặt phẳng song song. Nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song với nhau.

3. Định lí Thalès trong không gian

Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến phân biệt bất kì những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

$\frac{AB}{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\frac{BC}{B^{\prime }{C}^{\prime }}=\frac{AC}{A^{\prime }{C}^{\prime }}$

4. Hình lăng trụ và hình hộp

Các tứ giác $A_1{A_1}^{\prime }{A_2}^{\prime }{A}_2$,$A_2{A_2}^{\prime }{A_3}^{\prime }{A}_3$,…,$A_n{A_n}^{\prime }{A_1}^{\prime }{A}_1$ gọi là các mặt bên của hình trụ.

Hình lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D’ có hai đáy là hình bình hành được gọi là hình hộp.

B. Bài tập Hai mặt phẳng song song

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành có O là giao điểm của AC và BD. Trung điểm của SA, SD lần lượt là M, N. Chứng minh rằng: (OMN) // (SBC).

Hướng dẫn giải

Ta có: Trong tam giác SAC, MO là đường trung bình. Suy ra MO // AC

nên MO // (SBC).

SD, BD có N và O lần lượt là trung điểm nên NO là đường trung bình của tam giác SBD. Suy ra NO // SB.

Do đó, NO // (SBC).

Ta có:

suy ra (OMN) // (SBC).

Bài 2: Trong không gian cho ba mặt phẳng phân biệt (α), (β), (γ). Những mệnh đề nào sau đây đúng?

a) Nếu (α) chứa một đường thẳng song song với (β) thì (α) // (β).

b) Nếu (α) và (β) cắt (γ) thì (α) và (β) song song với nhau.

c) Nếu (α) và (β) song song với (γ) thì (α) song song với (β).

Hướng dẫn giải

a) Sai. Vì để (α) // (β) thì (α) chứa hai đường thẳng cắt nhau và hai đường thẳng này song song (β).

b) Sai. Vì (α) và (β) cắt (γ) thì (α) và (β) có thể cắt nhau.

c) Đúng. Vì (α) và (β) là hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba là mặt phẳng (γ) thì (α) và (β) song song với nhau.

Bài 3: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi I là trung điểm của A'B'. Mặt phẳng (IBD) cắt hình hộp theo thiết diện là hình gì?

Hướng dẫn giải

Ta có:

Suy ra giao tuyến của (IBD) với (A'B'C'D') là đường thẳng d đi qua I và song song với BD.

- Trong mặt phẳng (A'B'C'D'), gọi M là giao điểm của d và A'D'.

Suy ra, IM // BD // B'D'.

Khi đó thiết diện là tứ giác IMDB và tứ giác này là hình thang.

Bài 4: Cho hình tứ diện ABCD. Trên cạnh AB lấy các điểm A₁, A₂ sao cho AA₁ = A₁A₂ = A₂B. Gọi (P) và (Q) là hai mặt phẳng song song với mặt phẳng (BCD) và lần lượt đi qua A₁, A₂. Mặt phẳng (P) cắt các cạnh AC, AD lần lượt tại C₁, D₁. Mặt phẳng (Q) cắt các cạnh AC, AD lần lượt tại D₁, D₂. Chứng minh AC₁ = C₁C₂ = C₂C và AD₁ = D₁D₂ = D₂D.

Hướng dẫn giải

Áp dụng định lí Thales cho ba mặt phẳng (BCD), (P), (Q) và hai cát tuyến AB, AC ta có: $\frac{A{C}_1}{A{A}_1}=\frac{C_1{C}_2}{A_1{A}_2}=\frac{C_{2}C}{A_{2}B}$ mà AA₁ = A₁A₂ = A₂B.

Suy ra: AC₁ = C₁C₂ = C₂C.

Chứng minh tương tự: Áp dụng định lí Thales cho ba mặt phẳng (BCD), (P), (Q) và hai cát tuyến AB, AD ta có: $\frac{A{D}_1}{A{A}_1}=\frac{D_1{D}_2}{A_1{A}_2}=\frac{D_{2}D}{A_{2}B}$ mà AA₁ = A₁A₂ = A₂B

Suy ra: AD₁ = D₁D₂ = D₂D.