Lý thuyết Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit – Toán 11 Kết nối tri thức

Lý thuyết Toán 11 Bài 21: Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit - Kết nối tri thức

A. Lý thuyết Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit

1. Phương trình mũ

Phương trình mũ cơ bản có dạng $a^x=b$(với $0<a\ne 1$).

- Nếu b > 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất $x={\log }_{a}b$.

- Nếu b $\le$ 0 thì phương trình vô nghiệm.

Minh họa bằng đồ thị:

Chú ý: Phương pháp giải phương trình mũ bằng cách đưa về cùng cơ số:

Nếu $0<a\ne 1$ thì $a^u=a^v\iff u=v$.

2. Phương trình lôgarit

Phương trình lôgarit cơ bản có dạng ${\log }_{a}x=b\left(0<a\ne 1\right)$.

Phương trình lôgarit cơ bản ${\log }_{a}x=b$ có nghiệm duy nhất $x=a^b$.

Minh họa bằng đồ thị:

Chú ý: Phương pháp giải phương trình lôgarit bằng cách đưa về cùng cơ số:

Nếu $u,v>0$ và $0<a\ne 1$ thì ${\log }_{a}u={\log }_{a}v\iff u=v$.

3. Bất phương trình mũ

Bất phương trình mũ cơ bản có dạng $a^x>b$ (hoặc $a^x\ge b,a^x<b,a^x\le b$) với $a>0,a\ne 1$.

Xét bất phương trình dạng $a^x>b$:

- Nếu $b\le 0$ thì tập nghiệm của bất phương trình là $\mathbb{R}$.

- Nếu b > 0 thì bất phương trình tương đương với $a^x>a^{{\log }_{a}b}$.

Với a > 1, nghiệm của bất phương trình là $x>{\log }_{a}b$.

Với $0<a<1$, nghiệm của bất phương trình là $x<{\log }_{a}b$.

Chú ý:

a) Các bất phương trình mũ cơ bản còn lại được giải tương tự.

b) Nếu a > 1 thì $a^u=a^v\iff u>v$.

Nếu 0 < a < 1 thì $a^u>a^v\iff u<v$.

4. Bất phương trình lôgarit

Bất phương trình lôgarit cơ bản có dạng ${\log }_{a}x>b$(hoặc ${\log }_{a}x\ge b,{\log }_{a}x<b,{\log }_{a}x\le b$) với $a>0,a\ne 1$.

Xét bất phương trình dạng ${\log }_{a}x>b$:

- Nếu a > 1 thì nghiệm của bất phương trình là $x>a^b$.

- Nếu 0 < a < 1 thì nghiệm của bất phương trình là $0<x<a^b$.

Chú ý:

a) Các bất phương trình lôgarit cơ bản còn lại được giải tương tự.

b) Nếu a > 1 thì ${\log }_{a}u>{\log }_{a}v\iff u>v>0$.

Nếu 0 < a < 1 thì ${\log }_{a}u>{\log }_{a}v\iff 0<u<v$.

Sơ đồ tư duy Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit

B. Bài tập Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit