Tìm ảnh của A và d

Giải Toán 11 Bài Ôn tập chương I

Video Giải Bài tập 2 trang 34 SGK Toán lớp 11 Hình học

Bài tập 2 trang 34 SGK Toán lớp 11 Hình học: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(−1; 2) và đường thẳng d có phương trình 3x + y + 1 = 0. Tìm ảnh của A và d.

a) Qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{v}=(2;1)$ ;

b) Qua phép đối xứng trục Oy;

c) Qua phép đối xứng qua gốc tọa độ;

d) Qua phép quay tâm O góc 90^o.

Lời giải:

Gọi A’ và d' lần lượt là ảnh của A và d qua các phép biến hình trên.

a) Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến vecto $\overrightarrow{v}=(2;1)$ là $\begin{array}{l}x\text{'}=x+2\\ y\text{'}=y+1\end{array}$

Do vậy, ảnh của A(−1; 2)  là A’(1; 3)

Gọi M(x, y) thuộc d: 3x + y + 1 = 0

$M\text{'}=T_{\overrightarrow{v}}\left(M\right)=\left(x\text{'};y\text{'}\right)\iff \begin{array}{l}x\text{'}=x+2\\ y\text{'}=y+1\end{array}\iff \begin{array}{l}x=x\text{'}-2\\ y=y\text{'}-1\end{array}$

Thay vào phương trình đường thẳng d, ta có: 3(x’ – 2) + (y’ – 1) +1 = 0

Suy ra 3x’ + y’ – 6 = 0

Suy ra $M\text{'}\in d\text{'}:3x+y-6=0$

Vậy phương trình đường thẳng d’ là: 3x + y – 6 = 0

b) Biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua trục Oy là $\begin{array}{l}x\text{'}=-x\\ y\text{'}=y\end{array}$

Do vậy, ảnh của A(−1; 2) là A’(1; 2) 

Gọi M(x, y) thuộc d: 3x + y + 1 = 0

$M\text{'}={Đ}_{Oy}\left(M\right)=\left(x\text{'};y\text{'}\right)\iff \begin{array}{l}x\text{'}=-x\\ y\text{'}=y\end{array}\iff \begin{array}{l}x=-x\text{'}\\ y=y\text{'}\end{array}$

Thay vào phương trình đường thẳng d, ta có:

3(-x’) + y’ +1 = 0

Suy ra 3x’ – y’ – 1 = 0

Suy ra $M\text{'}\in d\text{'}:3x-y-1=0$

Vậy phương trình đường thẳng d' là: 3x - y – 1 = 0

c) Biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm O là $\begin{array}{l}x\text{'}=-x\\ y\text{'}=-y\end{array}$

Do vậy, ảnh của A(−1; 2) là A’(1; −2) 

Gọi M(x, y) thuộc d: 3x + y + 1 = 0

$M\text{'}={Đ}_O\left(M\right)=\left(x\text{'};y\text{'}\right)\iff \begin{array}{l}x\text{'}=-x\\ y\text{'}=-y\end{array}\iff \begin{array}{l}x=-x\text{'}\\ y=-y\text{'}\end{array}$

Thay vào phương trình đường thẳng d, ta có: 3(-x’) + (-y’) +1 = 0

Suy ra 3x’ + y’ – 1 = 0

Suy ra $M\text{'}\in d\text{'}:3x+y-1=0$

Vậy phương trình đường thẳng d' là: 3x + y – 1 = 0

d) Qua phép quay tâm O góc 90^o, A(−1; 2) biến thành A’(−2; −1), B(0; −1) biến thành B’(1; 0).

Vì A, B thuộc d nên A’, B’ thuộc d’.

Phương trình đường thẳng d' là phương trình A’B’.

Ta có: $\overrightarrow{A\text{'}B\text{'}}=(3;1)$ suy ra $\overrightarrow{n_{AB}}=(1;-3)$

Mà d' đi qua B'(1;0) nên có phương trình: (x – 1) – 3(y – 0) = 0

Suy ra x – 3y – 1 = 0

Vậy phương trình đường thẳng d' là: x – 3y – 1 = 0